Номер 120, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

120. Прямая $a$ перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит че-рез его середину $K$. Точка $M$ принадлежит прямой $a$,$\angle AMB = 84^\circ$. Найдите $\angle BMK$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle BMK$.

По условию задачи, прямая $a$ проходит через середину $K$ отрезка $AB$. Это означает, что $K$ — точка, делящая отрезок $AB$ пополам, следовательно, $AK = KB$.

Также по условию прямая $a$ перпендикулярна отрезку $AB$. Точки $M$ и $K$ лежат на прямой $a$, поэтому отрезок $MK$ перпендикулярен отрезку $AB$. Угол в точке пересечения $K$ равен $90°$, то есть $\angle AKM = \angle BKM = 90°$.

Сторона $MK$ является общей для треугольников $\triangle AMK$ и $\triangle BMK$.

Таким образом, мы можем доказать равенство треугольников $\triangle AMK$ и $\triangle BMK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
1) $AK = KB$ (поскольку K — середина AB).
2) $\angle AKM = \angle BKM = 90°$ (поскольку $a \perp AB$).
3) $MK$ — общая сторона.

Из равенства треугольников $\triangle AMK \cong \triangle BMK$ следует равенство их соответствующих углов. Значит, $\angle AMK = \angle BMK$.

Угол $\angle AMB$ состоит из двух углов $\angle AMK$ и $\angle BMK$: $\angle AMB = \angle AMK + \angle BMK$.

Так как $\angle AMK = \angle BMK$, мы можем переписать это выражение как $\angle AMB = \angle BMK + \angle BMK = 2 \cdot \angle BMK$.

По условию дано, что $\angle AMB = 84°$. Теперь мы можем найти искомый угол $\angle BMK$:

$\angle BMK = \frac{\angle AMB}{2} = \frac{84°}{2} = 42°$.

Ответ: $42°$.