Номер 126, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

126*. Найдите геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с данным основанием.

Пусть дан отрезок $AB$, который является основанием для семейства равнобедренных треугольников. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ) $C$, которые могут быть третьей вершиной такого треугольника.

По определению равнобедренного треугольника с основанием $AB$, третья вершина $C$ должна быть равноудалена от концов основания, то есть должно выполняться равенство длин боковых сторон: $AC = BC$.

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от двух данных точек $A$ и $B$, является серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через середину отрезка $AB$ и перпендикулярная ему.

Таким образом, любая точка $C$, принадлежащая серединному перпендикуляру к отрезку $AB$, удовлетворяет условию $AC = BC$.

Однако, чтобы точки $A$, $B$ и $C$ образовывали треугольник, они не должны лежать на одной прямой (не должны быть коллинеарными). Если точка $C$ лежит на прямой, содержащей отрезок $AB$, то треугольник вырождается в отрезок. Единственная точка, которая одновременно принадлежит и серединному перпендикуляру к $AB$, и прямой $AB$, — это середина отрезка $AB$. Обозначим её $M$.

Следовательно, точку $M$ необходимо исключить из искомого геометрического места, так как в этом случае точки $A, B, C$ будут лежать на одной прямой.

Итак, искомое геометрическое место вершин — это серединный перпендикуляр к данному основанию, за исключением точки, являющейся серединой этого основания.

Ответ: Геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с данным основанием есть серединный перпендикуляр к этому основанию, из которого исключена точка, являющаяся серединой основания.