Номер 127, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

127*. По одну сторону от прямой $a$ расположены точки $A$ и $B$.
На прямой $a$ найдите точку $M$ такую, чтобы расстояния от точки $M$ до точек $A$ и $B$ были равны.

По условию задачи нам необходимо найти на прямой $a$ точку $M$ такую, что ее расстояния до точек $A$ и $B$ равны. Это условие можно записать в виде равенства: $MA = MB$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае от $A$ и $B$), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки ($AB$). Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую $p$.

Таким образом, искомая точка $M$ должна удовлетворять двум условиям: она должна лежать на прямой $a$ (согласно условию) и одновременно лежать на серединном перпендикуляре $p$ (поскольку $MA = MB$). Следовательно, точка $M$ является точкой пересечения прямой $a$ и серединного перпендикуляра $p$ к отрезку $AB$.

Для нахождения точки $M$ необходимо выполнить следующие построения:
1. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.
2. Построить серединный перпендикуляр $p$ к отрезку $AB$.
3. Найти точку пересечения прямой $p$ и данной прямой $a$. Эта точка и будет искомой точкой $M$.

Анализ решения

Число решений задачи зависит от взаимного расположения прямой $a$ и серединного перпендикуляра $p$.

1. Единственное решение. Если прямая $p$ пересекает прямую $a$ в одной точке, то задача имеет единственное решение. Это происходит, когда прямые $a$ и $p$ не параллельны. Так как по построению $p \perp AB$, то этот случай имеет место, когда прямая $AB$ не перпендикулярна прямой $a$.

2. Решений нет. Если прямая $p$ параллельна прямой $a$ ($p \parallel a$), то у них нет общих точек, и, следовательно, точки $M$, удовлетворяющей условию, не существует. Прямые $p$ и $a$ будут параллельны, если прямая $AB$ перпендикулярна прямой $a$.

Отметим, что случай, когда прямая $p$ совпадает с прямой $a$, невозможен. Если бы прямая $a$ была серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, то точки $A$ и $B$ находились бы по разные стороны от прямой $a$, что противоречит условию задачи.

Ответ: Искомая точка $M$ является точкой пересечения прямой $a$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AB$. Задача имеет единственное решение, если отрезок $AB$ не перпендикулярен прямой $a$. Если отрезок $AB$ перпендикулярен прямой $a$, то решения не существует.