Моделирование, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Моделирование

Маша обучается в строительном колледже. На практических занятиях ей поручили просверлить отверстие в центре металлического круга. Чтобы найти центр круга, девушка начертила хорду, затем при помощи рулетки отметила ее середину. Используя угольник, она построила перпендикуляр к хорде с основанием в ее середине (рис. 159). Помогите девушке продолжить действия и найти центр круга.

Составьте математическую модель задания, которая объясняет действия Маши и доказывает правильность выбранного алгоритма.

Рис. 159

Помогите девушке продолжить действия и найти центр круга.

Маша уже выполнила первый важный шаг. Она построила серединный перпендикуляр к хорде. Геометрическое свойство этого перпендикуляра заключается в том, что он всегда проходит через центр круга. Однако одной прямой недостаточно, чтобы однозначно определить положение точки на плоскости.

Чтобы завершить построение и найти центр, Маше необходимо:

1. Начертить на круге еще одну хорду, не параллельную первой. Обозначим ее как $CD$.
2. Найти середину этой новой хорды $CD$ (пусть это будет точка $N$).
3. С помощью угольника построить вторую прямую, перпендикулярную хорде $CD$ и проходящую через ее середину $N$. Эта прямая также будет являться серединным перпендикуляром и будет содержать центр круга.
4. Точка, в которой пересекутся два построенных перпендикуляра, и будет являться искомым центром металлического круга.

Ответ: Для нахождения центра круга необходимо построить вторую хорду, не параллельную первой, и возвести к ней серединный перпендикуляр. Точка пересечения двух серединных перпендикуляров и будет центром круга.

Составьте математическую модель задания, которая объясняет действия Маши и доказывает правильность выбранного алгоритма.

Математическая модель:

• Металлический круг представляет собой геометрическую фигуру — круг, ограниченный окружностью. Обозначим центр окружности как точку $O$, а ее радиус как $R$.
• Маша чертит первую хорду — отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. Обозначим этот отрезок $AB$.
• Она находит середину хорды — точку $M$, так что $AM = MB$.
• Затем она строит прямую $l$, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную хорде $AB$ ($l \perp AB$). Прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Доказательство правильности алгоритма:

Докажем, что центр окружности $O$ всегда лежит на серединном перпендикуляре к любой ее хорде.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, образованный концами хорды $A$, $B$ и центром окружности $O$.
2. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами данной окружности, следовательно, их длины равны: $OA = OB = R$.
3. Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.
4. Точка $M$ — середина хорды $AB$. Отрезок $OM$, соединяющий вершину равнобедренного треугольника с серединой основания, является медианой.
5. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $OM$ перпендикулярен основанию $AB$ ($OM \perp AB$).
6. Прямая $l$, построенная Машей, по определению проходит через точку $M$ и перпендикулярна $AB$. Так как через точку на прямой можно провести только один перпендикуляр, прямая $l$ совпадает с прямой, содержащей отрезок $OM$. Таким образом, центр окружности, точка $O$, лежит на прямой $l$.

Поскольку центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой хорде, для его нахождения достаточно построить два таких перпендикуляра для двух разных непараллельных хорд (например, $AB$ и $CD$). Так как две непараллельные прямые на плоскости пересекаются в единственной точке, точка пересечения этих перпендикуляров однозначно определяет положение центра $O$.

Ответ: Математическая модель основана на свойстве равнобедренного треугольника $\triangle AOB$ (где $O$ — центр круга, $AB$ — хорда), в котором медиана $OM$ к основанию является и высотой. Это доказывает, что центр круга лежит на серединном перпендикуляре к хорде. Пересечение двух таких перпендикуляров к непараллельным хордам однозначно определяет положение центра.