Номер 123, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

123. Докажите, что серединный перпендикуляр к хорде окружности проходит через центр окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и в ней проведена хорда $AB$. Нам необходимо доказать, что серединный перпендикуляр к хорде $AB$ проходит через точку $O$.

Вспомним определение и свойство серединного перпендикуляра. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Ключевое свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что он является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, любая точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$ тогда и только тогда, когда расстояние $PA$ равно расстоянию $PB$.

Рассмотрим центр окружности — точку $O$. Концы хорды, точки $A$ и $B$, по определению лежат на окружности. По определению окружности, все её точки находятся на одинаковом расстоянии от центра, равном радиусу $R$.

Следовательно, отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами данной окружности, а значит, их длины равны:

$OA = OB = R$

Из этого равенства следует, что точка $O$ равноудалена от концов хорды $A$ и $B$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AB$, согласно свойству серединного перпендикуляра, она должна лежать на этом перпендикуляре.

Таким образом, мы доказали, что серединный перпендикуляр к хорде окружности всегда проходит через ее центр. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Доказательство основано на свойстве серединного перпендикуляра как геометрического места точек, равноудаленных от концов отрезка. Центр окружности $O$ равноудален от концов любой хорды $A$ и $B$ (так как расстояния $OA$ и $OB$ равны радиусу). Следовательно, точка $O$ по определению принадлежит серединному перпендикуляру к хорде $AB$.