Номер 116, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

116*. Бумажный квадрат $ABCD$ сложили по диагонали $AC$. Объясните, почему при этом совпадут вершины $B$ и $D$.

Рассмотрим квадрат $ABCD$. Когда мы сгибаем его по диагонали $AC$, эта диагональ выступает в роли линии сгиба, которая делит квадрат на две части.

Диагональ $AC$ делит квадрат на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Чтобы объяснить, почему вершины $B$ и $D$ совпадут, докажем, что эти два треугольника равны между собой.

Сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

• Сторона $AB$ равна стороне $AD$, так как по определению у квадрата все стороны равны.
• Сторона $BC$ равна стороне $DC$ по той же причине.
• Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), можно заключить, что $\triangle ABC \cong \triangle ADC$.

Процесс сгибания по линии $AC$ — это физическое наложение одной части фигуры ($\triangle ABC$) на другую ($\triangle ADC$). Так как эти треугольники равны, при наложении они должны полностью совпасть. Вершины, лежащие на линии сгиба ($A$ и $C$), останутся на своих местах. Вершина $B$ одного треугольника совместится с соответствующей ей вершиной $D$ другого треугольника.

С точки зрения геометрии, это означает, что диагональ $AC$ является осью симметрии квадрата, а точки $B$ и $D$ симметричны относительно этой оси. По определению осевой симметрии, при сгибании по оси симметричные точки совмещаются.

Ответ: При сгибании квадрата $ABCD$ по диагонали $AC$ вершины $B$ и $D$ совпадут, потому что эта диагональ делит квадрат на два равных (конгруэнтных) треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Поскольку треугольники равны, при наложении друг на друга их соответствующие вершины совмещаются. Вершина $B$ треугольника $\triangle ABC$ соответствует вершине $D$ треугольника $\triangle ADC$, поэтому они и совпадут.