Номер 112, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

112. На рисунке 150 $BK = BM$, $KE = ME$. Докажите, что $AB = BC$.

Рис. 150

Для доказательства равенства сторон $AB$ и $BC$ рассмотрим несколько пар треугольников.

1. Рассмотрим треугольники $BKE$ и $BME$.

В этих треугольниках:

• $BK = BM$ (по условию задачи).
• $KE = ME$ (по условию задачи).
• Сторона $BE$ — общая.

Следовательно, $\triangle BKE = \triangle BME$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. Из равенства треугольников $BKE$ и $BME$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BKE = \angle BME$.

3. Рассмотрим углы, смежные с углами $\angle BKE$ и $\angle BME$.

Угол $\angle AKE$ является смежным с углом $\angle BKE$, так как точки $A, K, B$ лежат на одной прямой. Таким образом, $\angle AKE = 180^\circ - \angle BKE$.

Аналогично, угол $\angle CME$ является смежным с углом $\angle BME$, так как точки $B, M, C$ лежат на одной прямой. Таким образом, $\angle CME = 180^\circ - \angle BME$.

Поскольку мы доказали, что $\angle BKE = \angle BME$, то и смежные с ними углы равны: $\angle AKE = \angle CME$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $AKE$ и $CME$.

В этих треугольниках:

• $KE = ME$ (по условию задачи).
• $\angle AKE = \angle CME$ (как доказано выше).
• $\angle AEK = \angle CEM$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AKE = \triangle CME$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

5. Из равенства треугольников $AKE$ и $CME$ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, $AK = CM$.

6. Наконец, найдем длины сторон $AB$ и $BC$.

Сторона $AB$ является суммой отрезков $AK$ и $KB$: $AB = AK + KB$.

Сторона $BC$ является суммой отрезков $CM$ и $MB$: $BC = CM + MB$.

Так как из условия нам известно, что $KB = MB$, и мы доказали, что $AK = CM$, то мы можем заключить, что $AK + KB = CM + MB$.

Таким образом, $AB = BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB = BC$ доказано.