Номер 108, страница 82 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

108. Докажите равенство треугольников (рис. 149).

а) $AB = AD$

$BC = CD$

б) $AB = BC$

$AD = CD$

в) $\angle A = \angle C$

$AM = MC$

г) $AB = KC$

$AM = CN$

$BM = KN$

Рис. 149

а) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$.

Из отметок на рисунке следует, что:

1. $AB = AD$

2. $BC = DC$

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Поскольку три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: $\triangle ABC = \triangle ADC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

б) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$.

Согласно отметкам на рисунке:

1. $AB = CB$

2. $AD = CD$

3. Сторона $BD$ является общей для этих треугольников.

Таким образом, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: $\triangle ABD = \triangle CBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

в) Сначала рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Если у треугольника два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны: $AB = BC$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABM$ и $CBM$.

1. $AB = BC$ (доказано выше).

2. $AM = CM$ (по условию, согласно отметкам).

3. $BM$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $ABM$ и $CBM$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: $\triangle ABM = \triangle CBM$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

г) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $NKC$.

Из условия (согласно отметкам на рисунке) имеем:

1. $AC = NC$

2. $BC = KC$

Углы $\angle ACB$ и $\angle NCK$ являются вертикальными, а вертикальные углы равны. Таким образом,

3. $\angle ACB = \angle NCK$

Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

Ответ: $\triangle ABC = \triangle NKC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).