Номер 105, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

105. Докажите, что прямая, пересекающая биссектрису угла и перпендикулярная этой биссектрисе, отсекает на сторонах угла равные отрезки.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$, и пусть его стороны — лучи, на которых лежат отрезки $OC$ и $OD$. Пусть $OL$ — биссектриса этого угла. Проведем прямую, которая пересекает стороны угла в точках $C$ и $D$, а биссектрису $OL$ — в точке $K$. По условию, эта прямая перпендикулярна биссектрисе.

Дано:
$\angle COD$
$OK$ — биссектриса $\angle COD$
Прямая $CD \perp OK$

Доказать:
$OC = OD$

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle OCK$ и $\triangle ODK$.
По условию, прямая $CD$ перпендикулярна биссектрисе $OK$. Это означает, что $\angle OKC = \angle OKD = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle OCK$ и $\triangle ODK$ являются прямоугольными.
В этих прямоугольных треугольниках:
1. Катет $OK$ является общим.
2. Острые углы $\angle COK$ и $\angle DOK$ равны, так как $OK$ является биссектрисой угла $\angle COD$.
Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle OCK$ и $\triangle ODK$ равны по катету и прилежащему острому углу.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В данном случае, гипотенуза $OC$ треугольника $\triangle OCK$ равна гипотенузе $OD$ треугольника $\triangle ODK$.
Следовательно, $OC = OD$.
Что и требовалось доказать.

Альтернативное доказательство:
Рассмотрим треугольник $\triangle OCD$. По условию, $OK$ — биссектриса угла $\angle COD$. Также по условию $OK \perp CD$, что означает, что $OK$ является высотой треугольника $\triangle OCD$, опущенной на сторону $CD$.
Так как в треугольнике $\triangle OCD$ биссектриса $OK$ совпадает с высотой, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD$.
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то есть $OC = OD$.

Ответ: Доказано, что прямая, пересекающая биссектрису угла и перпендикулярная этой биссектрисе, отсекает на сторонах угла равные отрезки.