Номер 99, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

99*. На сторонах угла $A$ отложены равные отрезки $AB$ и $AC$. На отрезке $AB$ взята точка $M$, на отрезке $AC$ — точка $K$ так, что $\angle ABK = \angle ACM$. Отрезки $BK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что треугольник $\triangle MOK$ равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $MOK$ является равнобедренным, необходимо показать, что две его стороны равны, то есть $OM = OK$.

1. Рассмотрим треугольники $ABK$ и $ACM$. По условию задачи дано, что $AB = AC$ и $∠ABK = ∠ACM$. Угол $A$ является общим для этих двух треугольников. Следовательно, треугольники $ABK$ и $ACM$ равны по стороне и двум прилежащим углам (если учесть, что равенство двух углов в треугольниках влечет равенство и третьих углов, то по признаку ASA, или по теореме о равенстве треугольников по стороне и двум углам, AAS). Таким образом, $ΔABK ≅ ΔACM$.

2. Из равенства треугольников $ABK$ и $ACM$ следует равенство их соответствующих сторон и углов. В частности, нас интересуют стороны $AK = AM$ и $BK = CM$.

3. Так как по условию $AB = AC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, а значит, углы при его основании равны: $∠ABC = ∠ACB$. Рассмотрим углы $∠OBC$ и $∠OCB$. Угол $∠OBC$ является частью угла $∠ABC$ и может быть выражен как разность $∠ABC - ∠ABK$. Аналогично, угол $∠OCB$ является частью угла $∠ACB$ и равен $∠ACB - ∠ACM$. Поскольку $∠ABC = ∠ACB$ и $∠ABK = ∠ACM$, то их разности также будут равны: $∠OBC = ∠OCB$.

4. В треугольнике $OBC$ углы при основании $BC$ равны ($∠OBC = ∠OCB$), следовательно, треугольник $OBC$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $OB = OC$.

5. Вернемся к равенству $BK = CM$, которое мы получили в пункте 2. Отрезок $BK$ состоит из двух частей, $BO$ и $OK$, поэтому $BK = BO + OK$. Аналогично, $CM = CO + OM$. Приравнивая выражения для $BK$ и $CM$, получаем: $BO + OK = CO + OM$. Из пункта 4 мы знаем, что $BO = OC$. Подставим это в наше равенство: $OC + OK = OC + OM$. Вычитая из обеих частей равенства отрезок $OC$, приходим к выводу, что $OK = OM$.

6. Поскольку в треугольнике $MOK$ две стороны равны ($OM = OK$), он является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $MOK$ является равнобедренным, так как в ходе доказательства было установлено, что его стороны $OM$ и $OK$ равны.