Номер 95, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

95*. В треугольнике $MNK$ проведена биссектриса $ME$. Известно, что $\angle MKN + \angle NME = \angle MNK + \angle KME$, $KE = 4$ см, $MN = 9$ см. Найдите периметр треугольника $MNK$.

Решение

В треугольнике $MNK$ проведена биссектриса $ME$. По определению биссектрисы, она делит угол $\angle NMK$ на два равных угла:

$\angle NME = \angle KME$

В условии задачи дано равенство:

$\angle MKN + \angle NME = \angle MNK + \angle KME$

Так как $\angle NME = \angle KME$, мы можем упростить данное равенство, вычтя равные углы из обеих его частей:

$\angle MKN = \angle MNK$

Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. В треугольнике $MNK$ углы при стороне $NK$ равны, следовательно, стороны, противолежащие этим углам, также равны:

$MN = MK$

Из условия известно, что $MN = 9$ см, значит и $MK = 9$ см.

Теперь применим свойство биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{NE}{KE} = \frac{MN}{MK}$

Подставим известные значения длин сторон $MN$ и $MK$, а также длину отрезка $KE = 4$ см:

$\frac{NE}{4} = \frac{9}{9}$

$\frac{NE}{4} = 1$

Отсюда находим длину отрезка $NE$:

$NE = 4 \cdot 1 = 4$ см.

Теперь можем найти длину всей стороны $NK$:

$NK = NE + KE = 4 + 4 = 8$ см.

Периметр треугольника $MNK$ равен сумме длин всех его сторон:

$P_{MNK} = MN + MK + NK$

Подставляем все известные значения:

$P_{MNK} = 9 + 9 + 8 = 26$ см.

Ответ: 26 см.