Номер 89, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

89. Докажите свойство углов равностороннего треугольника: «В равностороннем треугольнике все углы равны между собой». Сформулируйте утверждение, обратное данному (признак равностороннего треугольника). Докажите его.

Доказательство свойства: «В равностороннем треугольнике все углы равны между собой»

Пусть дан равносторонний треугольник $\triangle ABC$. По определению, это треугольник, у которого все стороны равны: $AB = BC = CA$.
Требуется доказать, что все его углы равны: $\angle A = \angle B = \angle C$.

Доказательство:
1. Поскольку $AB = BC$, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, следовательно, $\angle A = \angle C$.

2. Поскольку $BC = CA$, треугольник $\triangle ABC$ также является равнобедренным с основанием $AB$. По тому же свойству, углы при этом основании равны, следовательно, $\angle B = \angle A$.

3. Из полученных равенств $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle A$ следует, что все три угла треугольника равны между собой: $\angle A = \angle B = \angle C$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство о равенстве всех углов в равностороннем треугольнике доказано.

Формулировка утверждения, обратного данному (признак равностороннего треугольника)

Прямое утверждение (свойство): Если треугольник равносторонний, то все его углы равны.
Обратное утверждение (признак) получается путем замены условия и заключения.

Ответ: Обратное утверждение, или признак равностороннего треугольника, формулируется так: «Если в треугольнике все углы равны, то он является равносторонним».

Доказательство обратного утверждения

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$, в котором, по условию, все углы равны: $\angle A = \angle B = \angle C$.
Требуется доказать, что треугольник $\triangle ABC$ является равносторонним, то есть $AB = BC = CA$.

Доказательство:
1. Из равенства $\angle B = \angle C$ следует, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным. По признаку равнобедренного треугольника (стороны, противолежащие равным углам, равны), имеем $AB = AC$.

2. Аналогично, из равенства $\angle A = \angle B$ следует, что стороны, противолежащие этим углам, также равны, то есть $BC = AC$.

3. Из полученных равенств $AB = AC$ и $BC = AC$ следует, что все три стороны треугольника равны между собой: $AB = BC = CA$.

Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак равностороннего треугольника (если все углы треугольника равны, то он равносторонний) доказан.