Номер 83, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

83. Найдите отрезок или угол, обозначенные знаком вопроса (рис. 132). Объясните свой ответ.

а) $70^\circ$, ?

б) 12, 20, 20, ?

в) 21, 22, ?

г) $155^\circ$, $25^\circ$, ?

Рис. 132

а)

На рисунке изображен треугольник, у которого две стороны отмечены одинаковыми штрихами, что означает, что они равны. Следовательно, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Один из углов при основании равен $70°$. Значит, второй угол при основании также равен $70°$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Обозначим искомый угол, который является углом при вершине, через $x$. Тогда мы можем составить уравнение: $x + 70° + 70° = 180°$ $x + 140° = 180°$ $x = 180° - 140°$ $x = 40°$

Ответ: $40°$

б)

Рассмотрим данный треугольник. Две его стороны имеют длину 20. Из вершины угла между этими сторонами проведена биссектриса (она делит угол на два равных угла, что показано дугами). Биссектриса делит противолежащую сторону на два отрезка. Длина одного отрезка равна 12, а длину второго (обозначенного знаком вопроса) нужно найти. Воспользуемся теоремой о биссектрисе угла треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Пусть стороны, образующие угол, из которого проведена биссектриса, равны $a = 20$ и $b = 20$. Отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону, равны $c_1 = 12$ и $c_2 = ?$. Согласно теореме: $\frac{c_1}{c_2} = \frac{a}{b}$ Подставим известные значения: $\frac{12}{?} = \frac{20}{20}$ $\frac{12}{?} = 1$ Отсюда, неизвестный отрезок равен 12.

Ответ: 12

в)

В данном треугольнике два угла отмечены одинаковыми дугами, что означает, что эти углы равны. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, также равны. Сторона длиной 21 лежит напротив одного из отмеченных углов. Сторона, обозначенная знаком вопроса, лежит напротив другого равного ему угла. Следовательно, длина неизвестной стороны также равна 21.

Ответ: 21

г)

Сначала найдем внутренний угол треугольника в левом нижнем углу. Он является смежным с углом $155°$. Сумма смежных углов равна $180°$, поэтому внутренний угол равен: $180° - 155° = 25°$ Теперь мы видим, что в большом треугольнике есть два равных угла: один в левом нижнем углу ($25°$) и другой в верхней вершине (также $25°$). Это означает, что большой треугольник является равнобедренным. Внутри этого треугольника нарисован еще один. Рассмотрим его. Штрихами отмечены как равные боковая сторона большого треугольника (слева) и отрезок на основании малого треугольника. Это означает, что малый треугольник также является равнобедренным. Угол при вершине этого малого равнобедренного треугольника совпадает с левым нижним углом большого треугольника и равен $25°$. Искомый угол (обозначенный знаком вопроса) является одним из двух равных углов при основании этого малого треугольника. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Обозначим искомый угол через $y$. В малом равнобедренном треугольнике два угла при основании равны $y$. Тогда: $y + y + 25° = 180°$ $2y = 180° - 25°$ $2y = 155°$ $y = \frac{155°}{2} = 77.5°$

Ответ: $77,5°$