Геометрия 3D, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Геометрия 3D

Тетраэдром или треугольной пирамидой называется многогранник, у которого все четыре грани — треугольники. Точка $S$ — вершина, а треугольник $ABC$ — основание пирамиды, перпендикуляр $SH$ к плоскости $ABC$ является высотой тетраэдра (рис. 124).

Задача.

Имеется металлический прут длиной 1 м 30 см. Прут можно разрезать на части и скрепить их концами. Хватит ли прута, чтобы изготовить каркас тетраэдра, у которого все грани — равносторонние треугольники с периметром 60 см каждый?

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо рассчитать общую длину всех ребер каркаса тетраэдра и сравнить ее с длиной металлического прута.

1. Сначала найдем длину одного ребра тетраэдра. По условию, все грани тетраэдра — это равносторонние треугольники с периметром 60 см. В равностороннем треугольнике все три стороны равны. Если обозначить длину стороны (ребра) как $a$, то периметр $P$ будет равен $3a$.

Из условия $P = 60$ см, находим длину ребра:

$a = P / 3 = 60 \text{ см} / 3 = 20 \text{ см}$.

Таким образом, длина каждого ребра каркаса тетраэдра должна быть 20 см.

2. Далее вычислим общую длину прута, необходимого для изготовления всего каркаса. Тетраэдр имеет 6 ребер (3 в основании и 3 боковых). Поскольку все ребра равны, общая длина $L$ составит:

$L = 6 \times a = 6 \times 20 \text{ см} = 120 \text{ см}$.

3. Теперь сравним необходимую длину с имеющейся длиной прута. Длина прута составляет 1 м 30 см. Переведем эту величину в сантиметры, зная, что 1 м = 100 см:

$1 \text{ м } 30 \text{ см} = 100 \text{ см} + 30 \text{ см} = 130 \text{ см}$.

4. Сравниваем длину прута (130 см) с необходимой для каркаса длиной (120 см):

$130 \text{ см} > 120 \text{ см}$.

Так как длина металлического прута больше, чем общая длина всех ребер тетраэдра, его хватит для изготовления каркаса.

Ответ: Да, хватит.