Номер 81, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Гривон ПП, ДДЧДР и ЕЕШЭ – 2ВПЭС.

81*. Дан треугольник $ABC$ с периметром 30 см, $AK$ — его медиана. Периметр треугольника $ABK$ равен 18 см, периметр треугольника $ACK$ — 24 см. Найдите длину медианы $AK$.

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $AB$, $AC$ и $BC$. Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин всех его сторон:
$P_{ABC} = AB + AC + BC = 30$ см.

$AK$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. По определению медианы, она делит сторону $BC$ пополам, то есть точка $K$ является серединой отрезка $BC$. Отсюда следует, что $BK = KC$.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $ACK$.
Периметр треугольника $ABK$ ($P_{ABK}$) равен сумме длин его сторон:
$P_{ABK} = AB + BK + AK = 18$ см.

Периметр треугольника $ACK$ ($P_{ACK}$) равен сумме длин его сторон:
$P_{ACK} = AC + KC + AK = 24$ см.

Сложим периметры этих двух треугольников:
$P_{ABK} + P_{ACK} = (AB + BK + AK) + (AC + KC + AK)$

Подставим числовые значения и сгруппируем слагаемые:
$18 + 24 = (AB + AC) + (BK + KC) + 2 \cdot AK$
$42 = AB + AC + BC + 2 \cdot AK$

Обратим внимание, что сумма $AB + AC + BC$ является периметром исходного треугольника $ABC$, который по условию равен 30 см. Заменим эту сумму в нашем уравнении:
$42 = (AB + AC + BC) + 2 \cdot AK$
$42 = 30 + 2 \cdot AK$

Теперь найдем длину медианы $AK$, решив полученное линейное уравнение:
$2 \cdot AK = 42 - 30$
$2 \cdot AK = 12$
$AK = \frac{12}{2}$
$AK = 6$ см.

Ответ: 6 см.