Гимнастика ума, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Гимнастика ума

В вершинах треугольника запишем по одному произвольному числу. Например, числа 12; 7 и 23 (Рис. 125). Найдем суммы чисел, стоящих у концов каждой стороны. Запишем полученные суммы у середин этих сторон: $12 + 7 = 19$, $12 + 23 = 35$ и $23 + 7 = 30$.

Далее проведем медианы и найдем суммы чисел, записанных у концов каждой медианы. Получим $7 + 35 = 42$, $12 + 30 = 42$, $23 + 19 = 42$. Все три суммы одинаковы и равны 42!

Нарисуйте в тетради треугольник и запишите в его вершинах три свои числа. Проделайте описанные выше операции и найдите суммы чисел, записанных у концов каждой медианы. Если вы все делали правильно, то получите три одинаковые суммы. Как вы это объясните?

Выполним задание с произвольными числами

Нарисуем треугольник и запишем в его вершинах три произвольных числа, например: 5, 10 и 20.

1. Найдем суммы чисел, стоящих у концов каждой стороны, и запишем их у середин этих сторон:

• Сумма для стороны с вершинами 5 и 10: $5 + 10 = 15$
• Сумма для стороны с вершинами 10 и 20: $10 + 20 = 30$
• Сумма для стороны с вершинами 20 и 5: $20 + 5 = 25$

2. Проведем медианы и найдем суммы чисел, записанных у концов каждой медианы. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

• Сумма для медианы от вершины 5 к середине противоположной стороны (где записано 30): $5 + 30 = 35$
• Сумма для медианы от вершины 10 к середине противоположной стороны (где записано 25): $10 + 25 = 35$
• Сумма для медианы от вершины 20 к середине противоположной стороны (где записано 15): $20 + 15 = 35$

Как и в примере, все три полученные суммы оказались одинаковыми.

Ответ: Все три суммы равны 35.

Как вы это объясните?

Это свойство будет выполняться для любых трех чисел, и объяснить это можно с помощью алгебры. Обозначим три произвольных числа в вершинах треугольника как $a$, $b$ и $c$.

1. Сначала, согласно правилу, мы находим суммы чисел на концах каждой стороны и записываем их на серединах сторон. Получаем три новых числа:

• На середине стороны между $a$ и $b$ будет число $a+b$.
• На середине стороны между $b$ и $c$ будет число $b+c$.
• На середине стороны между $c$ и $a$ будет число $c+a$.

2. Далее мы находим сумму числа в вершине и числа на середине противоположной стороны для каждой из трех медиан:

• Первая медиана: соединяет вершину с числом $a$ и середину противоположной стороны с числом $b+c$. Их сумма равна: $a + (b+c) = a+b+c$.
• Вторая медиана: соединяет вершину с числом $b$ и середину противоположной стороны с числом $c+a$. Их сумма равна: $b + (c+a) = a+b+c$.
• Третья медиана: соединяет вершину с числом $c$ и середину противоположной стороны с числом $a+b$. Их сумма равна: $c + (a+b) = a+b+c$.

Как показывают вычисления, все три суммы сводятся к одному и тому же выражению: $a+b+c$. Это и есть сумма трех исходных чисел, которые мы выбрали для вершин треугольника. Поскольку каждая из трех сумм по медианам равна одному и тому же значению (сумме чисел в вершинах), они всегда будут равны между собой.

Ответ: Сумма чисел на концах любой медианы всегда будет равна сумме трех исходных чисел, записанных в вершинах треугольника. Если обозначить числа в вершинах как $a$, $b$ и $c$, то каждая из трех искомых сумм будет равна $a+b+c$, поэтому все три суммы всегда одинаковы.