Номер 88, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

88. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$, в котором боковые стороны равны, то есть $AB = BC$. Пусть точки $D, E$ и $F$ — середины сторон $AB, BC$ и $AC$ соответственно. Требуется доказать, что треугольник $\triangle DEF$, образованный этими точками, также является равнобедренным.

Стороны треугольника $\triangle DEF$ являются средними линиями треугольника $\triangle ABC$. Вспомним свойство средней линии: средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Рассмотрим сторону $DF$ треугольника $\triangle DEF$. Она соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $DF$ является средней линией $\triangle ABC$, и её длина равна половине длины стороны $BC$: $DF = \frac{1}{2}BC$.

Теперь рассмотрим сторону $EF$ треугольника $\triangle DEF$. Она соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Следовательно, $EF$ также является средней линией $\triangle ABC$, и её длина равна половине длины стороны $AB$: $EF = \frac{1}{2}AB$.

По условию задачи, исходный треугольник $\triangle ABC$ — равнобедренный с боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Это означает, что длины этих сторон равны: $AB = BC$.

Так как $AB = BC$, то и половины этих сторон равны: $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC$.

Из этого следует, что $EF = DF$.

Поскольку в треугольнике $\triangle DEF$ две стороны ($EF$ и $DF$) равны, он по определению является равнобедренным. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.