Номер 91, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

91. В равнобедренном треугольнике $MNK$ ($KM = KN$) проведена биссектриса $KE$, равная 24 см. Периметр треугольника $KEN$ равен 56 см. Найдите периметр треугольника $MNK$.

По условию, треугольник $MNK$ является равнобедренным, так как $KM = KN$. Биссектриса $KE$ проведена из вершины $K$, которая находится между равными сторонами. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, также является медианой.

Это означает, что точка $E$ является серединой основания $MN$, и, следовательно, делит его на два равных отрезка: $ME = EN$.

Периметр треугольника $KEN$ ($P_{KEN}$) вычисляется как сумма длин его сторон:

$P_{KEN} = KE + EN + KN$

Из условия задачи нам известны значения периметра $P_{KEN} = 56$ см и длины биссектрисы $KE = 24$ см. Подставим эти значения в формулу:

$56 = 24 + EN + KN$

Из этого уравнения найдем сумму длин сторон $EN$ и $KN$:

$EN + KN = 56 - 24$

$EN + KN = 32$ см.

Теперь рассмотрим периметр треугольника $MNK$ ($P_{MNK}$):

$P_{MNK} = KM + KN + MN$

Используем известные нам свойства треугольника:

• $KM = KN$ (по условию).
• $MN = ME + EN = EN + EN = 2 \cdot EN$ (так как $KE$ — медиана).

Подставим эти выражения в формулу периметра $MNK$:

$P_{MNK} = KN + KN + 2 \cdot EN = 2 \cdot KN + 2 \cdot EN$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$P_{MNK} = 2 \cdot (KN + EN)$

Мы ранее вычислили, что сумма $(KN + EN)$ равна 32 см. Подставим это значение:

$P_{MNK} = 2 \cdot 32 = 64$ см.

Ответ: 64 см.