Номер 96, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

96*. Треугольник $ABC$ — равносторонний (рис. 134, а, б). Докажите, что треугольник $MNK$ — равносторонний, если:

а) $MB = 2AM$, $NC = 2BN$, $AK = 2KC$;

б) $AM = AB$, $CN = AC$, $BK = BC$.

Рис. 134

а) Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, все его стороны равны ($AB = BC = AC$) и все углы равны $60^\circ$ ($\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$). Пусть длина стороны треугольника $ABC$ равна $a$.
Из условия $MB = 2AM$ и того, что точка $M$ лежит на отрезке $AB$, следует, что $AB = AM + MB = AM + 2AM = 3AM$. Отсюда $AM = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$.
Аналогично, из условия $NC = 2BN$ и того, что точка $N$ лежит на отрезке $BC$, следует, что $BC = BN + NC = BN + 2BN = 3BN$. Отсюда $BN = \frac{1}{3}BC = \frac{a}{3}$.
И из условия $AK = 2KC$ и того, что точка $K$ лежит на отрезке $AC$, следует, что $AC = AK + KC = 2KC + KC = 3KC$. Отсюда $KC = \frac{1}{3}AC = \frac{a}{3}$.
Найдем длины остальных отрезков: $AK = AC - KC = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$, $BM = AB - AM = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$, $CN = BC - BN = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$.
Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMK$, $\triangle BMN$ и $\triangle CNK$. Сравним их:

• В $\triangle AMK$ стороны $AM = \frac{a}{3}$ и $AK = \frac{2a}{3}$, угол между ними $\angle A = 60^\circ$.
• В $\triangle BMN$ стороны $BM = \frac{2a}{3}$ и $BN = \frac{a}{3}$, угол между ними $\angle B = 60^\circ$.
• В $\triangle CNK$ стороны $CN = \frac{2a}{3}$ и $CK = \frac{a}{3}$, угол между ними $\angle C = 60^\circ$.

Мы видим, что у всех трех треугольников есть стороны длиной $\frac{a}{3}$ и $\frac{2a}{3}$, и угол между ними равен $60^\circ$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AMK \cong \triangle BMN \cong \triangle CNK$.
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон: $MK = MN = NK$.
Так как все стороны треугольника $MNK$ равны, он является равносторонним.
Ответ: что и требовалось доказать.

б) По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний. Пусть его сторона равна $a$ ($AB=BC=AC=a$), а углы равны $60^\circ$. Точки $M, K, N$ расположены на продолжениях сторон, как показано на рисунке 134 б).
Из условия $AM = AB$, $CN = AC$, $BK = BC$ следует, что $AM = CN = BK = a$.
Точка $M$ лежит на продолжении стороны $BA$ за точку $A$, значит точки $M, A, B$ лежат на одной прямой.
Точка $K$ лежит на продолжении стороны $CB$ за точку $B$, значит точки $K, B, C$ лежат на одной прямой.
Точка $N$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $C$, значит точки $A, C, N$ лежат на одной прямой.
Рассмотрим треугольники $\triangle NAM$, $\triangle MBK$ и $\triangle KCN$.
Найдем длины их сторон.$AN = AC + CN = a + a = 2a$.$BM = BA + AM = a + a = 2a$.$CK = CB + BK = a + a = 2a$.Таким образом, $AN = BM = CK = 2a$. Другие стороны, как дано в условии, равны $AM=BK=CN=a$.
Найдем углы между этими сторонами.Угол $\angle NAM$ и угол $\angle CAB$ являются вертикальными, следовательно, $\angle NAM = \angle CAB = 60^\circ$.Аналогично, угол $\angle MBK$ и угол $\angle ABC$ являются вертикальными, следовательно, $\angle MBK = \angle ABC = 60^\circ$.И угол $\angle KCN$ и угол $\angle BCA$ являются вертикальными, следовательно, $\angle KCN = \angle BCA = 60^\circ$.
Сравним треугольники $\triangle NAM$, $\triangle MBK$ и $\triangle KCN$:

• В $\triangle NAM$: стороны $AM=a$ и $AN=2a$, угол между ними $\angle NAM=60^\circ$.
• В $\triangle MBK$: стороны $BK=a$ и $BM=2a$, угол между ними $\angle MBK=60^\circ$.
• В $\triangle KCN$: стороны $CN=a$ и $CK=2a$, угол между ними $\angle KCN=60^\circ$.

Поскольку $AM=BK=CN$, $AN=BM=CK$ и $\angle NAM = \angle MBK = \angle KCN$, то треугольники $\triangle NAM$, $\triangle MBK$ и $\triangle KCN$ равны по первому признаку равенства треугольников.
Из их равенства следует и равенство их третьих сторон: $NM = MK = KN$.
Следовательно, треугольник $MNK$ является равносторонним.
Ответ: что и требовалось доказать.