Номер 93, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

93. Треугольник $ABC$ – равнобедренный, $AB = BC$. На луче $AC$ за точку C отложен отрезок $CM$, на луче $CA$ за точку A отложен отрезок $AK$ такой, что $AK = CM$. Докажите, что треугольник $MBK$ равнобедренный.

Дано:
$\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$.
Точки $K, A, C, M$ лежат на одной прямой.
$AK = CM$.

Доказать:
$\triangle MBK$ — равнобедренный.

Доказательство:

Чтобы доказать, что треугольник $MBK$ является равнобедренным, необходимо доказать равенство двух его сторон. Докажем, что $MB = KB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle KAB$ и $\triangle MCB$.

1. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AB$ и $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

2. Углы $\angle KAB$ и $\angle BAC$ являются смежными, так как точки $K, A, C$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle KAB = 180^\circ - \angle BAC$. Аналогично, углы $\angle MCB$ и $\angle BCA$ являются смежными, так как точки $A, C, M$ лежат на одной прямой. Поэтому $\angle MCB = 180^\circ - \angle BCA$.

3. Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$, то и смежные с ними углы равны: $\angle KAB = \angle MCB$.

4. Теперь сравним треугольники $\triangle KAB$ и $\triangle MCB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
- $AB = BC$ (по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный).
- $AK = CM$ (по условию).
- $\angle KAB = \angle MCB$ (как было доказано выше).

Следовательно, $\triangle KAB \cong \triangle MCB$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данных треугольниках сторона $KB$ соответствует стороне $MB$. Таким образом, $KB = MB$.

Так как в треугольнике $MBK$ две стороны ($MB$ и $KB$) равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $MBK$ является равнобедренным, так как доказано равенство его сторон $MB$ и $KB$.