Номер 102, страница 78 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

102. Перпендикулярные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $CO = OD$, $AC = 12 \text{ см}$, $BD = 9 \text{ см}$. Найдите периметр четырехугольника $ACBD$.

По условию задачи отрезки $AB$ и $CD$ перпендикулярны, значит, они пересекаются в точке $O$ под прямым углом. Это означает, что все углы, образованные при их пересечении, равны $90^{\circ}$. Таким образом, треугольники $\triangle AOC$, $\triangle AOD$, $\triangle BOC$ и $\triangle BOD$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle AOD$. У них:

• катет $AO$ — общий;
• катет $CO$ равен катету $OD$ по условию ($CO = OD$).

Следовательно, $\triangle AOC = \triangle AOD$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AD = AC$. Так как по условию $AC = 12$ см, то и $AD = 12$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle BOD$. У них:

• катет $BO$ — общий;
• катет $CO$ равен катету $OD$ по условию ($CO = OD$).

Следовательно, $\triangle BOC = \triangle BOD$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $BC = BD$. Так как по условию $BD = 9$ см, то и $BC = 9$ см.

Периметр четырехугольника $ACBD$ равен сумме длин всех его сторон:

$P_{ACBD} = AC + CB + BD + DA$

Подставим известные и найденные значения длин сторон:

$P_{ACBD} = 12 \text{ см} + 9 \text{ см} + 9 \text{ см} + 12 \text{ см} = 42 \text{ см}$.

Ответ: 42 см.