Номер 104, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

104. В треугольнике $ABC$ биссектриса $AK$ перпендикулярна медиане $BM$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AB = 6 \text{ см}$, $BC = 8 \text{ см}$.

Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $AK$ и медианы $BM$ в треугольнике $ABC$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В этом треугольнике отрезок $AO$ (являющийся частью биссектрисы $AK$) является биссектрисой угла $BAM$. Также по условию $AK \perp BM$, следовательно, $AO$ является высотой треугольника $ABM$, проведенной к стороне $BM$.

Поскольку в треугольнике $ABM$ отрезок $AO$ является одновременно и биссектрисой, и высотой, то треугольник $ABM$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, прилежащие к вершине, из которой проведены биссектриса и высота, равны. Таким образом, $AB = AM$.

Из условия задачи мы знаем, что $AB = 6$ см. Следовательно, $AM = 6$ см.

По определению, медиана $BM$ проведена к стороне $AC$, значит, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Отсюда следует, что длина стороны $AC$ в два раза больше длины отрезка $AM$:
$AC = 2 \cdot AM$.
Подставив известное значение $AM$, получим:
$AC = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин всех его сторон:
$P_{ABC} = AB + BC + AC$.
Подставим значения длин сторон $AB$, $BC$ и $AC$:
$P_{ABC} = 6 \text{ см} + 8 \text{ см} + 12 \text{ см} = 26 \text{ см}$.

Ответ: 26 см.