Номер 107, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

107*. Биссeктриса $CK$ треугольника $ABC$ проходит через середину медианы $BM$. Периметр треугольника $ABC$ равен $36$ см, $AM = 8$ см. Найдите длину стороны $AB$.

По условию задачи, $BM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AC$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $AC$.
Следовательно, $MC = AM$. Так как дано, что $AM = 8$ см, то и $MC = 8$ см.
Длина всей стороны $AC$ равна сумме длин ее частей: $AC = AM + MC = 8 + 8 = 16$ см.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Прямая, на которой лежит биссектриса $CK$, пересекает сторону $AB$ в точке $K$, сторону $BM$ в точке $O$ (середина $BM$) и продолжение стороны $AM$ в точке $C$. Таким образом, прямая $KOC$ является секущей для треугольника $ABM$.
Применим теорему Менелая для треугольника $ABM$ и секущей $KOC$: $$ \frac{AK}{KB} \cdot \frac{BO}{OM} \cdot \frac{MC}{CA} = 1 $$ Из условия задачи нам известно:

1. Точка $O$ — середина медианы $BM$, следовательно, $BO = OM$, и отношение $\frac{BO}{OM} = 1$.
2. Мы нашли, что $MC = 8$ см и $AC = 16$ см, следовательно, отношение $\frac{MC}{CA} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение теоремы Менелая: $$ \frac{AK}{KB} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$ Из этого уравнения находим отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону $AB$: $$ \frac{AK}{KB} = 2 $$
Теперь воспользуемся тем, что $CK$ — биссектриса угла $C$ в треугольнике $ABC$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $$ \frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BC} $$ Мы уже знаем, что $\frac{AK}{KB} = 2$ и $AC = 16$ см. Подставим эти значения в формулу: $$ 2 = \frac{16}{BC} $$ Отсюда находим длину стороны $BC$: $$ BC = \frac{16}{2} = 8 \text{ см} $$
Наконец, используем данное в условии значение периметра треугольника $ABC$, который равен 36 см. Периметр — это сумма длин всех сторон: $$ P_{ABC} = AB + BC + AC $$ Подставим известные нам значения: $$ 36 = AB + 8 + 16 $$ $$ 36 = AB + 24 $$ $$ AB = 36 - 24 = 12 \text{ см} $$
Ответ: 12 см.