Номер 84, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

84. Дан треугольник $ABC$, у которого $\angle A = \angle B$, $AB + BC = 12$ см, $AC + BC = 16$ см. Найдите периметр $\triangle ABC$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ углы при основании $AB$ равны: $\angle A = \angle B$. Свойство равнобедренного треугольника гласит, что если углы при основании равны, то треугольник является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, также равны.

В данном случае, сторона $BC$ лежит напротив угла $A$, а сторона $AC$ лежит напротив угла $B$. Так как $\angle A = \angle B$, то и стороны, лежащие против них, равны: $BC = AC$.

В задаче даны следующие соотношения:
1) $AB + BC = 12$ см
2) $AC + BC = 16$ см

Поскольку мы установили, что $AC = BC$, мы можем подставить $BC$ вместо $AC$ во второе уравнение:
$BC + BC = 16$
$2 \cdot BC = 16$
$BC = \frac{16}{2} = 8$ см.

Так как $AC = BC$, то $AC = 8$ см.

Теперь, зная длину стороны $BC$, мы можем найти длину стороны $AB$ из первого уравнения:
$AB + BC = 12$
$AB + 8 = 12$
$AB = 12 - 8 = 4$ см.

Периметр треугольника ($P_{\triangle ABC}$) — это сумма длин всех его сторон:
$P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC$
Подставляем найденные значения длин сторон:
$P_{\triangle ABC} = 4 \text{ см} + 8 \text{ см} + 8 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Ответ: 20 см.