Номер 113, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

113. Дана окружность с центром в точке $O$, Рис. 150

$AB$ и $BC$ — две равные хорды окружности. Точки $E$ и $F$ — середины данных хорд, $OE = 6 \text{ дм}$, $EF = 5 \text{ дм}$. Найдите периметр $\triangle EOF$.

Периметр треугольника $EOF$ (обозначим его $P_{\triangle EOF}$) — это сумма длин всех его сторон:

$P_{\triangle EOF} = OE + OF + EF$

По условию задачи нам даны длины двух сторон треугольника: $OE = 6$ дм и $EF = 5$ дм. Для нахождения периметра необходимо найти длину третьей стороны — $OF$.

Рассмотрим хорды $AB$ и $BC$. По условию, это равные хорды, то есть $AB = BC$.

Точки $E$ и $F$ являются серединами этих хорд. Отрезки $OE$ и $OF$ соединяют центр окружности $O$ с серединами хорд. По свойству хорды, отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Следовательно, $OE \perp AB$ и $OF \perp BC$.

Длины этих перпендикуляров ($OE$ и $OF$) являются расстояниями от центра окружности до хорд $AB$ и $BC$ соответственно.

Согласно теореме о расстоянии от центра окружности до хорд, равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра. Поскольку хорды $AB$ и $BC$ равны, то и расстояния до них от центра $O$ также равны:

$OE = OF$

Так как по условию $OE = 6$ дм, то и $OF = 6$ дм.

Теперь, зная длины всех трех сторон треугольника $EOF$, мы можем вычислить его периметр:

$P_{\triangle EOF} = OE + OF + EF = 6 \text{ дм} + 6 \text{ дм} + 5 \text{ дм} = 17 \text{ дм}$

Ответ: 17 дм.