Номер 118, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

118*. Обязательно ли равны два четырехугольника, если стороны одного из них соответственно равны сторонам другого? Сформулируйте какой-нибудь признак равенства четырехугольников.

Обязательно ли равны два четырехугольника, если стороны одного из них соответственно равны сторонам другого?

Нет, не обязательно. Четырехугольник, в отличие от треугольника, не является жесткой фигурой. Это означает, что можно изменить его внутренние углы, не изменяя длин его сторон, что приведет к изменению его формы.

В качестве контрпримера можно привести квадрат и ромб с одинаковой длиной стороны. Пусть есть квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Все его стороны равны $a$, а все углы — $90^\circ$. А теперь рассмотрим ромб $A'B'C'D'$ (не являющийся квадратом) со стороной $a$ и углами, например, $60^\circ$ и $120^\circ$. Соответствующие стороны квадрата и ромба равны ($AB = A'B'$, $BC = B'C'$ и т.д.), однако сами фигуры не равны, так как их углы различны и их невозможно совместить наложением.

Ответ: нет, не обязательно.

Сформулируйте какой-нибудь признак равенства четырехугольников.

Поскольку равенства четырех сторон недостаточно для равенства четырехугольников, для формулировки признака равенства необходимо добавить дополнительные условия, которые бы однозначно задавали форму фигуры. Например, можно зафиксировать длину одной из диагоналей.

Признак равенства четырехугольников: Два четырехугольника равны, если четыре стороны и одна из диагоналей одного четырехугольника соответственно равны четырем сторонам и соответствующей диагонали другого четырехугольника.

Доказательство: Рассмотрим четырехугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, у которых равны соответствующие стороны ($AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $CD = C_1D_1$, $DA = D_1A_1$) и диагонали ($AC = A_1C_1$). Проведем диагональ $AC$, которая разбивает четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Аналогично, диагональ $A_1C_1$ разбивает четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ на $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_1D_1C_1$. Треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам: $AB=A_1B_1, BC=B_1C_1, AC=A_1C_1$). Аналогично, $\triangle ADC = \triangle A_1D_1C_1$ (по сторонам $AD=A_1D_1, DC=D_1C_1, AC=A_1C_1$). Так как четырехугольники состоят из двух пар соответственно равных треугольников, то и сами четырехугольники равны.

Ответ: Два четырехугольника равны, если четыре стороны и диагональ одного из них соответственно равны четырем сторонам и соответствующей диагонали другого.