Номер 124, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

124. Серединные перпендикуляры $KL$ и $MN$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ (рис. 157). Докажите, что:

a) $MN = KL$;

б) $MO = KO$.

a)

Рассмотрим треугольники $ΔAMN$ и $ΔCKL$.

По условию, $ΔABC$ — равнобедренный, с боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Из этого следует, что $AB = BC$, а также равны углы при основании: $∠BAC = ∠BCA$.

Прямая, содержащая отрезок $MN$, является серединным перпендикуляром к стороне $AB$. Это значит, что точка $M$ — середина отрезка $AB$, и прямая $MN$ перпендикулярна $AB$. Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AB$ и $∠AMN = 90°$.

Аналогично, прямая, содержащая отрезок $KL$, является серединным перпендикуляром к стороне $BC$. Это значит, что точка $K$ — середина отрезка $BC$, и прямая $KL$ перпендикулярна $BC$. Следовательно, $CK = \frac{1}{2}BC$ и $∠CKL = 90°$.

Сравним прямоугольные треугольники $ΔAMN$ и $ΔCKL$:

• Катет $AM = \frac{1}{2}AB$, а катет $CK = \frac{1}{2}BC$. Так как $AB = BC$, то $AM = CK$.
• Прилежащий острый угол $∠MAN$ (тот же, что и $∠BAC$) равен прилежащему острому углу $∠KCL$ (тот же, что и $∠BCA$), так как это углы при основании равнобедренного треугольника.

Таким образом, прямоугольные треугольники $ΔAMN$ и $ΔCKL$ равны по катету и прилежащему острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов $MN$ и $KL$. Значит, $MN = KL$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $MN = KL$.

б)

Из равенства треугольников $ΔAMN ≅ ΔCKL$, доказанного в пункте a), следует равенство их гипотенуз: $AN = CL$.

Точка $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной около этого треугольника окружности. Свойство центра описанной окружности заключается в том, что он равноудален от всех вершин треугольника. Следовательно, $OA = OB = OC$.

Рассмотрим треугольники $ΔOAN$ и $ΔOCL$:

• $OA = OC$ (как радиусы описанной окружности).
• $AN = CL$ (как следует из равенства $ΔAMN ≅ ΔCKL$).
• Угол $∠OAN$ совпадает с углом $∠OAC$, а угол $∠OCL$ совпадает с углом $∠OCA$. Так как $OA = OC$, треугольник $ΔAOC$ является равнобедренным, и, следовательно, углы при его основании равны: $∠OAC = ∠OCA$. Таким образом, $∠OAN = ∠OCL$.

Следовательно, $ΔOAN ≅ ΔOCL$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $ON = OL$.

Мы знаем из пункта a), что $MN = KL$. Представим эти отрезки как суммы: $MN = MO + ON$ и $KL = KO + OL$.

Так как $MN = KL$ и $ON = OL$, то $MO + ON = KO + OL$. Вычитая из обеих частей равенства равные отрезки $ON$ и $OL$, получаем $MO = KO$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $MO = KO$.