Номер 2, страница 89 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Задание 2

Известно, что $\angle A = \angle C$, $AM = CK$, $BD \perp AC$.

Докажите, что:

а) $\triangle ABM = \triangle CBK$;

б) $\triangle MBD = \triangle KBD$.

1. Рассмотрим $ \triangle ABC $. По условию нам дано, что $ \angle A = \angle C $. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, $ \triangle ABC $ — равнобедренный с основанием $AC$.
2. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Отсюда следует, что $ AB = CB $.
3. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle CBK $. Для них известно, что:
- $ AB = CB $ (как боковые стороны равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $),
- $ \angle A = \angle C $ (по условию),
- $ AM = CK $ (по условию).
4. Таким образом, $ \triangle ABM = \triangle CBK $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle ABM $ и $ \triangle CBK $ доказано на основе первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

1. Из доказанного в пункте а) равенства $ \triangle ABM = \triangle CBK $ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны $ BM $ и $ BK $, то есть $ BM = BK $.
2. По условию задачи $ BD \perp AC $, это означает, что отрезок $BD$ является высотой треугольника $ \triangle ABC $, опущенной на основание $AC$.
3. Так как $ \triangle ABC $ является равнобедренным с основанием $AC$ (доказано в пункте а), то его высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Как медиана, $BD$ делит основание $AC$ пополам, то есть $ AD = CD $.
4. Мы знаем, что отрезок $AD$ состоит из отрезков $AM$ и $MD$ ($ AD = AM + MD $), а отрезок $CD$ состоит из отрезков $CK$ и $KD$ ($ CD = CK + KD $).
Поскольку $ AD = CD $ и $ AM = CK $ (по условию), то мы можем найти длины отрезков $MD$ и $KD$:
$ MD = AD - AM $
$ KD = CD - CK $
Отсюда следует, что $ MD = KD $.
5. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle MBD $ и $ \triangle KBD $. У них:
- $ BM = BK $ (доказано в п.1),
- $ MD = KD $ (доказано в п.4),
- $ BD $ — общая сторона.
6. Следовательно, $ \triangle MBD = \triangle KBD $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle MBD $ и $ \triangle KBD $ доказано на основе третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам).