Номер 5, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

5. Дано: $\triangle ABC, AB = BC, AK$ и $CM$ — медианы. Докажите:

а) $AK = CM$;

б) $\angle BAK = \angle BCM$;

в) $\angle KAC = \angle MCA$.

а)

Рассмотрим треугольники $ΔABK$ и $ΔCBM$.

1. По условию задачи, треугольник $ΔABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC$.

2. Угол $∠B$ является общим для обоих треугольников $ΔABK$ и $ΔCBM$.

3. $AK$ и $CM$ — медианы. По определению медианы, точка $K$ — середина стороны $BC$, а точка $M$ — середина стороны $AB$. Следовательно, $BK = \frac{1}{2}BC$ и $BM = \frac{1}{2}AB$.

4. Так как $AB = BC$, то и половины этих сторон равны: $BK = BM$.

5. Таким образом, в треугольниках $ΔABK$ и $ΔCBM$ сторона $AB$ равна стороне $BC$, сторона $BK$ равна стороне $BM$, и угол $∠B$ между ними является общим. Следовательно, $ΔABK ≅ ΔCBM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

6. В равных треугольниках соответственные стороны равны, поэтому $AK = CM$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Как было доказано в пункте а), треугольники $ΔABK$ и $ΔCBM$ равны ($ΔABK ≅ ΔCBM$).

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Углы $∠BAK$ и $∠BCM$ являются соответственными, так как лежат против равных сторон $BK$ и $BM$ соответственно (на самом деле, они лежат против сторон AK и CM, которые мы доказали равными, но правильнее сказать, что они являются соответственными углами в конгруэнтных треугольниках).

Из равенства треугольников $ΔABK$ и $ΔCBM$ следует равенство их соответственных углов, то есть $∠BAK = ∠BCM$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Способ 1:

Рассмотрим треугольники $ΔAKC$ и $ΔCMA$.

1. Сторона $AC$ — общая для обоих треугольников.

2. В пункте а) мы доказали, что $AK = CM$.

3. Так как $ΔABC$ равнобедренный с $AB=BC$, а $M$ и $K$ — середины этих сторон, то $AM = \frac{1}{2}AB$ и $KC = \frac{1}{2}BC$. Отсюда следует, что $AM = KC$.

4. Таким образом, $ΔAKC ≅ ΔCMA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов: $∠KAC = ∠MCA$.

Способ 2:

1. Поскольку треугольник $ΔABC$ равнобедренный с основанием $AC$, его углы при основании равны: $∠BAC = ∠BCA$.

2. В пункте б) мы доказали, что $∠BAK = ∠BCM$.

3. Угол $∠BAC$ можно представить как сумму углов $∠BAK$ и $∠KAC$, то есть $∠BAC = ∠BAK + ∠KAC$.

4. Угол $∠BCA$ можно представить как сумму углов $∠BCM$ и $∠MCA$, то есть $∠BCA = ∠BCM + ∠MCA$.

5. Приравняем выражения для равных углов: $∠BAK + ∠KAC = ∠BCM + ∠MCA$.

6. Так как $∠BAK = ∠BCM$, мы можем вычесть это равенство из предыдущего и получить: $∠KAC = ∠MCA$.

Ответ: Что и требовалось доказать.