Номер 129, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

129. Выясните, какие из изображенных прямых параллельны и почему (рис. 173–175).

Рис. 173

На рисунке показаны прямые AB, CD, EP. Углы: $64^\circ$, $116^\circ$. Точки: A, M, B, C, K, D, P.

Рис. 174

На рисунке показан четырехугольник ABCD с диагональю AC. Углы: $\angle DAC = 70^\circ$, $\angle BCA = 70^\circ$. Точки: A, B, C, D.

Рис. 175

На рисунке показаны прямые a, b, c, d, e. Углы: $108^\circ$ (между b и c), $72^\circ$ (между a и c), $72^\circ$ (между b и d), $118^\circ$ (между a и e).

Рис. 173

Рассмотрим прямые AB и CD и секущую EP. Нам даны два угла: $∠AMK = 64°$ и $∠CKP = 116°$.

Угол $∠CKP$ и угол $∠MKC$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180°$. Найдем величину угла $∠MKC$:

$∠MKC = 180° - ∠CKP = 180° - 116° = 64°$.

Углы $∠AMK$ и $∠MKC$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых AB и CD секущей EP. Поскольку эти углы равны:

$∠AMK = ∠MKC = 64°$

то по признаку параллельности прямых (если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны), прямая AB параллельна прямой CD.

Ответ: $AB \parallel CD$, так как внутренние накрест лежащие углы $∠AMK$ и $∠MKC$ при секущей EP равны $64°$.

Рис. 174

Рассмотрим прямые BC и AD и секущую AC. Нам даны два угла: $∠BCA = 70°$ и $∠DAC = 70°$.

Эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых BC и AD секущей AC. Так как по условию эти углы равны:

$∠BCA = ∠DAC = 70°$

то по признаку параллельности прямых, прямая BC параллельна прямой AD.

Информации для определения параллельности прямых AB и CD недостаточно.

Ответ: $BC \parallel AD$, так как внутренние накрест лежащие углы $∠BCA$ и $∠DAC$ при секущей AC равны.

Рис. 175

Проанализируем все возможные пары прямых на параллельность.

1. Прямые c и e. Рассмотрим их и секущую b. Угол между прямыми b и c равен $108°$ (внутренний верхний левый). Угол между прямыми b и e равен $72°$ (внутренний верхний правый). Эти два угла являются внутренними односторонними. Найдем их сумму:

$108° + 72° = 180°$

По признаку параллельности прямых (если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180°$, то прямые параллельны), прямая c параллельна прямой e ($c \parallel e$).

2. Прямые d и e. Рассмотрим их и секущую a. Угол между прямыми a и d равен $72°$ (внутренний нижний левый). Найдем соответствующий ему угол между прямыми a и e. Внешний нижний левый угол равен $118°$, значит смежный с ним внутренний нижний левый угол равен:

$180° - 118° = 62°$

Так как соответственные углы не равны ($72° \ne 62°$), то прямые d и e не параллельны.

3. Прямые a и b. Рассмотрим их и секущую e. Найдем величины накрест лежащих углов. Внутренний верхний правый угол при секущей e и прямой b равен $72°$. Внутренний нижний левый угол при секущей e и прямой a, как мы нашли в предыдущем пункте, равен $62°$. Так как накрест лежащие углы не равны ($72° \ne 62°$), то прямые a и b не параллельны.

Ответ: $c \parallel e$, так как сумма внутренних односторонних углов при секущей b равна $180°$.