Номер 133, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

133. В $\triangle ABC$ проведена биссектриса $AM$, к которой проведен серединный перпендикуляр, пересекающий прямую $AB$ в точке $E$. Докажите, что $EM \parallel AC$.

Пусть дана прямая, которая является серединным перпендикуляром к отрезку $AM$. По условию, эта прямая пересекает прямую $AB$ в точке $E$, следовательно, точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к $AM$.

Согласно свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Таким образом, расстояние от точки $E$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $E$ до точки $M$, то есть $EA = EM$.

Рассмотрим треугольник $ \triangle AEM $. Поскольку две его стороны равны ($EA = EM$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $ \angle EAM = \angle EMA $.

По условию задачи, $AM$ является биссектрисой угла $ \angle BAC $. Это означает, что $AM$ делит угол $ \angle BAC $ на два равных угла: $ \angle BAM = \angle CAM $.

Поскольку точка $E$ лежит на прямой $AB$, углы $ \angle EAM $ и $ \angle BAM $ являются одним и тем же углом. Таким образом, из равенства $ \angle BAM = \angle CAM $ следует, что $ \angle EAM = \angle CAM $.

Теперь сопоставим полученные равенства:
1) $ \angle EMA = \angle EAM $ (из равнобедренного $ \triangle AEM $)
2) $ \angle EAM = \angle CAM $ (так как $AM$ — биссектриса)
Из этих двух равенств следует, что $ \angle EMA = \angle CAM $.

Рассмотрим прямые $EM$ и $AC$ и секущую $AM$. Углы $ \angle EMA $ и $ \angle CAM $ являются накрест лежащими углами. Так как накрест лежащие углы равны ($ \angle EMA = \angle CAM $), то по признаку параллельности двух прямых, прямая $EM$ параллельна прямой $AC$.

Таким образом, доказано, что $EM \parallel AC$.

Ответ: Утверждение доказано.