Геометрия 3D, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Геометрия 3D

1. У куба отрезали угол (рис. 182). Сколько всего вершин, ребер и граней у полученного многогранника? Если $B$ — число вершин, $Г$ — число граней, $P$ — число ребер, то чему будет равно число $B + Г - P$? Знаменитая формула великого математика Леонарда Эйлера (XVIII в.) утверждает, что для любого многогранника $B + Г - P = 2$. Проверьте эту формулу для параллелепипеда, для треугольной и четырехугольной пирамид.

Рис. 182

2. Определите, сколько у изображенного многогранника пар параллельных ребер, где каждая пара параллельных ребер принадлежит какой-то одной грани.

3*. Нарисуйте развертку этому многогранника.

1.

Сначала рассмотрим исходный куб. У него 8 вершин, 6 граней и 12 ребер. Когда у куба отрезают один угол, происходят следующие изменения:

• Вершины (В): Одна вершина удаляется, но на ее месте срез образует три новые вершины. Итого: $В = 8 - 1 + 3 = 10$ вершин.
• Грани (Г): К исходным 6 граням добавляется одна новая грань в виде треугольника на месте среза. Итого: $Г = 6 + 1 = 7$ граней. (Три грани, сходившиеся в отрезанной вершине, из квадратов превращаются в пятиугольники).
• Ребра (Р): Срез добавляет 3 новых ребра, которые образуют стороны новой треугольной грани. Итого: $Р = 12 + 3 = 15$ ребер.

Теперь вычислим значение выражения $В + Г - Р$:
$В + Г - Р = 10 + 7 - 15 = 17 - 15 = 2$.

Проверим формулу Эйлера $В + Г - Р = 2$ для других многогранников.

• Параллелепипед: Имеет 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.
  $В + Г - Р = 8 + 6 - 12 = 2$. Формула верна.
• Треугольная пирамида: Имеет 4 вершины, 4 грани и 6 ребер.
  $В + Г - Р = 4 + 4 - 6 = 2$. Формула верна.
• Четырехугольная пирамида: Имеет 5 вершин, 5 граней и 8 ребер.
  $В + Г - Р = 5 + 5 - 8 = 2$. Формула верна.

Ответ: У полученного многогранника 10 вершин, 7 граней и 15 ребер. Значение выражения $В + Г - Р$ равно 2. Проверка подтвердила справедливость формулы Эйлера для указанных многогранников.

2.

Чтобы найти пары параллельных ребер, принадлежащих одной грани, нужно рассмотреть грани полученного многогранника. Всего у фигуры 7 граней:

• 3 грани — квадраты. Это те грани исходного куба, которые не были затронуты срезом. В каждом квадрате есть 2 пары параллельных ребер. Итого: $3 \times 2 = 6$ пар.
• 3 грани — пятиугольники. Это грани, которые получились из квадратов после среза угла. В каждом таком пятиугольнике осталась одна пара параллельных ребер (те ребра, которые были параллельны и не сходились в срезанной вершине). Итого: $3 \times 1 = 3$ пары.
• 1 грань — треугольник. В треугольнике нет параллельных сторон. Итого: 0 пар.

Суммируем количество пар: $6 + 3 + 0 = 9$ пар параллельных ребер.
Ответ: 9 пар.

3*.

Развертка этого многогранника состоит из 3 квадратов, 3 пятиугольников и 1 треугольника. Один из возможных вариантов развертки представлен ниже.

Ответ: Изображение развертки представлено выше.