Номер 137, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

137*. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Докажите, что если у четырехугольника противоположные стороны равны (рис. 181), то этот четырехугольник — параллелограмм.

Рис. 181

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, в котором противоположные стороны равны, то есть $AB = CD$ и $BC = AD$. Необходимо доказать, что $ABCD$ — параллелограмм.

Проведем диагональ $AC$. Она разделит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим эти треугольники.

1. $AB = CD$ по условию.

2. $BC = AD$ по условию.

3. $AC$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle DAC$.

Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$. Поскольку эти углы равны, то по признаку параллельности двух прямых прямые $AB$ и $CD$ параллельны, то есть $AB \parallel CD$.

Аналогично, углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$. Так как эти углы равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$). По определению, такой четырехугольник является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если у четырехугольника противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.