Номер 135, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

135. На рисунке 180 AK — биссектриса угла BAC. Докажите, что $DK \parallel AC$, если:

а) $\angle BDK = 54^\circ$, $\angle KAC = 27^\circ$;

б) $\angle BDK = 2\angle KAC$.

Puc. 180

а)

По условию, $AK$ является биссектрисой угла $BAC$. Это означает, что она делит угол $BAC$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle KAC$.
Нам дано, что $\angle KAC = 27^{\circ}$.
Следовательно, $\angle BAK$ также равен $27^{\circ}$.
Угол $BAC$ равен сумме его частей: $\angle BAC = \angle BAK + \angle KAC$.
Подставляя значения, получаем: $\angle BAC = 27^{\circ} + 27^{\circ} = 54^{\circ}$.
Также по условию нам дано, что $\angle BDK = 54^{\circ}$.
Таким образом, мы видим, что $\angle BDK = \angle BAC$.
Углы $\angle BDK$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами при пересечении прямых $DK$ и $AC$ секущей $AB$.
Поскольку соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, $DK \parallel AC$.

Ответ: Доказано.

б)

По условию, $AK$ — биссектриса угла $BAC$, следовательно, $\angle BAK = \angle KAC$.
Угол $BAC$ можно выразить как сумму его частей: $\angle BAC = \angle BAK + \angle KAC$.
Так как $\angle BAK = \angle KAC$, мы можем записать: $\angle BAC = \angle KAC + \angle KAC = 2\angle KAC$.
По условию задачи нам дано, что $\angle BDK = 2\angle KAC$.
Сравнивая два полученных выражения, мы заключаем, что $\angle BDK = \angle BAC$.
Углы $\angle BDK$ и $\angle BAC$ являются соответственными при прямых $DK$ и $AC$ и секущей $AB$.
Поскольку соответственные углы равны, прямые $DK$ и $AC$ параллельны.

Ответ: Доказано.