Номер 131, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

131. Докажите, что $a \parallel b$ (рис. 176–178), если:

а) $\angle 1 = 87^\circ$, $\angle 2 = 93^\circ$;

б) $\angle 1 = 116^\circ$, $\angle 2 = 64^\circ$;

в) $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Рис. 176

Рис. 177

Рис. 178

Для доказательства параллельности прямых a и b во всех случаях используются признаки параллельности двух прямых, пересеченных третьей (секущей). Прямые параллельны, если:

• внутренние накрест лежащие углы равны;
• соответственные углы равны;
• сумма внутренних односторонних углов равна $180°$.

Рассмотрим рисунок 176. Углы $∠1$ и $∠2$ являются внутренними односторонними углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей c. Согласно признаку параллельности прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180°$, то прямые параллельны. Вычислим сумму углов $∠1$ и $∠2$, используя данные из условия: $∠1 + ∠2 = 87° + 93° = 180°$. Так как сумма равна $180°$, то прямые a и b параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые a и b параллельны, так как сумма внутренних односторонних углов $∠1$ и $∠2$ (рис. 176) равна $180°$.

Рассмотрим рисунок 177. Введем вспомогательный угол $∠4$, который является смежным с углом $∠1$. Сумма смежных углов равна $180°$, поэтому $∠4 = 180° - ∠1 = 180° - 116° = 64°$. Введем также вспомогательный угол $∠5$, который является вертикальным углу $∠2$. Вертикальные углы равны, следовательно $∠5 = ∠2 = 64°$. Углы $∠4$ и $∠5$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых a и b секущей c. Так как мы получили, что $∠4 = ∠5 = 64°$, то по признаку параллельности прямых (равенство внутренних накрест лежащих углов), прямые a и b параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые a и b параллельны, так как с помощью введения вспомогательных углов доказывается равенство внутренних накрест лежащих углов (рис. 177).

Рассмотрим рисунок 178. Углы $∠1$ и $∠3$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180°$: $∠1 + ∠3 = 180°$. По условию задачи нам дано, что $∠1 + ∠2 = 180°$. Приравняем левые части этих равенств: $∠1 + ∠3 = ∠1 + ∠2$. Вычтем $∠1$ из обеих частей равенства и получим $∠3 = ∠2$. Углы $∠2$ и $∠3$ являются соответственными углами при пересечении прямых a и b секущей c. Так как соответственные углы оказались равны, то, по признаку параллельности прямых, прямые a и b параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые a и b параллельны, так как из условия $∠1 + ∠2 = 180°$ и свойства смежных углов $∠1$ и $∠3$ (рис. 178) следует равенство соответственных углов $∠2$ и $∠3$.