Номер 4, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

4. Дан треугольник $ABC$. Найдите $P_{ABC}$, если известно, что:

a) $AB : BC : AC = 2 : 3 : 5$, $AC = 20$ см;

б) $AB - BC = 2$ см, $AB = \frac{4}{3}AC$, $AC = 10$ см;

в) $AB : BC = 1 : 2$, $AB + BC = 18$ см, $2AC = 3AB$.

а)

Периметр треугольника $P_{ABC}$ — это сумма длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

По условию, стороны соотносятся как $AB : BC : AC = 2 : 3 : 5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить как $AB = 2x$, $BC = 3x$ и $AC = 5x$.

Нам известно, что $AC = 20$ см. Подставим это значение в наше выражение для $AC$:
$5x = 20$

Отсюда находим $x$:
$x = \frac{20}{5} = 4$ см.

Теперь можем найти длины двух других сторон:
$AB = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.
$BC = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Сложим длины всех сторон, чтобы найти периметр:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 8 + 12 + 20 = 40$ см.

Примечание: В данном случае выполняется равенство $AB + BC = AC$ ($8+12=20$), что означает, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Такой треугольник называется вырожденным. Тем не менее, его периметр можно вычислить.

Ответ: $P_{ABC} = 40$ см.

б)

Для нахождения периметра $P_{ABC} = AB + BC + AC$ нам нужно найти длины всех сторон.

Из условия нам известна длина стороны $AC = 10$ см.

Найдем длину стороны $AB$, используя соотношение $AB = \frac{4}{3}AC$:

$AB = \frac{4}{3} \cdot 10 = \frac{40}{3}$ см.

Теперь найдем длину стороны $BC$ из условия $AB - BC = 2$ см:

$\frac{40}{3} - BC = 2$

$BC = \frac{40}{3} - 2 = \frac{40}{3} - \frac{6}{3} = \frac{34}{3}$ см.

Теперь, когда известны все три стороны, вычислим периметр:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = \frac{40}{3} + \frac{34}{3} + 10 = \frac{74}{3} + \frac{30}{3} = \frac{104}{3}$ см.

Периметр также можно записать в виде смешанной дроби: $34\frac{2}{3}$ см.

Ответ: $P_{ABC} = \frac{104}{3}$ см или $34\frac{2}{3}$ см.

в)

Чтобы найти периметр $P_{ABC} = AB + BC + AC$, определим длины каждой стороны из данных условий.

Из соотношения $AB : BC = 1 : 2$ следует, что $BC = 2AB$.

Подставим это выражение в условие $AB + BC = 18$ см:

$AB + 2AB = 18$

$3AB = 18$

$AB = \frac{18}{3} = 6$ см.

Теперь найдем длину стороны $BC$:

$BC = 2 \cdot AB = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Найдем длину стороны $AC$ из условия $2AC = 3AB$:

$2AC = 3 \cdot 6 = 18$

$AC = \frac{18}{2} = 9$ см.

Теперь вычислим периметр, сложив длины всех сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 6 + 12 + 9 = 27$ см.

Ответ: $P_{ABC} = 27$ см.