Номер 3, страница 89 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Задание 3

По рисунку докажите, что:

а) $AC \perp BD$;

б) $BO = OD$.

а) AC ⊥ BD;

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, изображенный на рисунке. Согласно условным обозначениям, сторона $AB$ равна стороне $AD$ (отмечено двойными штрихами), то есть $AB = AD$. Также углы $\angle CBD$ и $\angle CDB$ равны (отмечено одинарными дугами), то есть $\angle CBD = \angle CDB$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Поскольку два его угла ($\angle CBD$ и $\angle CDB$) равны, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $BC = DC$.

Теперь сравним треугольники $ABC$ и $ADC$. У них общая сторона $AC$, сторона $AB = AD$ по условию, и сторона $BC = DC$ как было доказано выше. Таким образом, $\triangle ABC = \triangle ADC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников $ABC$ и $ADC$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAO = \angle DAO$ (или $\angle BAC = \angle DAC$). Это означает, что отрезок $AO$ является биссектрисой угла $BAD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Он является равнобедренным, так как $AB = AD$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, проведенная к основанию, является также высотой. Так как $AO$ — биссектриса угла $BAD$, то $AO$ также является высотой к основанию $BD$.

По определению высоты, $AO \perp BD$. Поскольку точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой, то $AC \perp BD$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) BO = OD.

Из доказательства в пункте (а) мы знаем, что треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$ ($AB = AD$), и что $AO$ является биссектрисой угла $BAD$.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является не только высотой, но и медианой.

Поскольку $AO$ является медианой треугольника $ABD$, проведенной к стороне $BD$, она делит эту сторону пополам в точке пересечения $O$.

Следовательно, точка $O$ — середина отрезка $BD$, что по определению означает $BO = OD$.

Ответ: Утверждение доказано.