Номер 125, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

125. Две окружности разного радиуса с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Докажите, что линия центров $O_1O_2$ перпендикулярна общей хорде $AB$ этих окружностей.

Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Необходимо доказать, что прямая $O_1O_2$ перпендикулярна хорде $AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle O_1AO_2$ и $\triangle O_1BO_2$.

В этих треугольниках сторона $O_1A$ равна стороне $O_1B$ (как радиусы первой окружности), сторона $O_2A$ равна стороне $O_2B$ (как радиусы второй окружности), а сторона $O_1O_2$ является общей. Таким образом, $\triangle O_1AO_2 \cong \triangle O_1BO_2$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности, $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AO_1B$. Он является равнобедренным, поскольку его боковые стороны $O_1A$ и $O_1B$ равны как радиусы одной окружности. В этом треугольнике линия $O_1O_2$ содержит биссектрису угла $\angle AO_1B$, так как, согласно доказанному выше, $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также высотой. Основанием треугольника $\triangle AO_1B$ является общая хорда $AB$. Следовательно, линия $O_1O_2$ перпендикулярна основанию $AB$.

Таким образом, доказано, что линия центров $O_1O_2$ перпендикулярна общей хорде $AB$.

Ответ: Линия центров $O_1O_2$ перпендикулярна общей хорде $AB$.