Номер 1, страница 89 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Задание 1

По рисунку докажите, что:

а) $AC = BD, AD = BC,$

б) $\angle CAD = \angle DBC.$

а) Для доказательства равенств $AC = BD$ и $AD = BC$ рассмотрим две пары треугольников, образованных пересечением отрезков $AB$ и $CD$ в точке $O$.

1. Рассмотрим треугольники $ΔAOC$ и $ΔBOD$.
Из отметок на рисунке следует, что точка $O$ является серединой отрезков $AB$ и $CD$.
Это означает, что:
• $AO = BO$ (по одинарным штрихам на отрезке AB).
• $CO = DO$ (по двойным штрихам на отрезке CD).
Углы $∠AOC$ и $∠BOD$ являются вертикальными, а значит, они равны: $∠AOC = ∠BOD$.
Следовательно, $ΔAOC ≅ ΔBOD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AC = BD$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $ΔAOD$ и $ΔBOC$.
• $AO = BO$ (по условию).
• $DO = CO$ (по условию).
Углы $∠AOD$ и $∠BOC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $∠AOD = ∠BOC$.
Таким образом, $ΔAOD ≅ ΔBOC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AD = BC$.
Оба равенства из пункта а) доказаны.

Ответ: Равенства $AC = BD$ и $AD = BC$ доказаны на основе равенства треугольников ($ΔAOC ≅ ΔBOD$ и $ΔAOD ≅ ΔBOC$ соответственно) по первому признаку.

б) Для доказательства равенства углов $∠CAD = ∠DBC$ воспользуемся результатом, полученным в пункте а), а именно равенством треугольников $ΔAOD$ и $ΔBOC$.

Мы доказали, что $ΔAOD ≅ ΔBOC$.
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В нашем случае, против равных сторон $DO$ и $CO$ лежат углы $∠OAD$ и $∠OBC$ соответственно.
Следовательно, $∠OAD = ∠OBC$.

Так как точка $O$ лежит на отрезке $AB$, то угол $∠OAD$ совпадает с углом $∠CAD$, а угол $∠OBC$ совпадает с углом $∠DBC$ (так как луч $BC$ является частью луча $OC$, а луч $AD$ частью луча $OD$).
Таким образом, из равенства $∠OAD = ∠OBC$ следует равенство $∠CAD = ∠DBC$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠CAD = ∠DBC$ доказано, так как эти углы являются соответствующими углами в равных треугольниках $ΔAOD$ и $ΔBOC$.