Номер 2, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

2. По данным на рисунке найдите периметр треугольника $ABC$.

а) $AK = 6$

$BK = 11$

$AB = BC$

$BK \perp AC$

б) $AB = 12$

$KC = 5$

$\angle ABK = \angle KBC$

$BC = KC$

в) $AK = 4$

$AB = 5$

$BK \perp AC$

$\angle ACB = \angle KBC$

а) На рисунке показано, что стороны $AB$ и $BC$ равны (отмечены одинаковыми штрихами), следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Дано, что $BC = 11$, значит и $AB = 11$. Отрезок $BK$ является высотой, проведённой к основанию $AC$ (обозначен прямой угол). В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Это означает, что точка $K$ — середина стороны $AC$, поэтому $AK = KC$. Нам известно, что $AK = 6$, следовательно $KC = 6$. Длина стороны $AC$ равна $AK + KC = 6 + 6 = 12$. Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 11 + 11 + 12 = 34$.
Ответ: 34

б) На рисунке показано, что отрезки $AK$ и $KC$ равны (отмечены одинаковыми штрихами), следовательно, отрезок $BK$ является медианой треугольника $ABC$. Также на рисунке отмечено, что углы $\angle ABK$ и $\angle KBC$ равны, значит $BK$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный. В данном случае, треугольник $ABC$ равнобедренный со сторонами $AB = BC$. Нам дано, что $AB = 12$, следовательно, $BC = 12$. Также дано, что $KC = 5$. Так как $BK$ — медиана, то $AC = AK + KC = 5 + 5 = 10$. Периметр треугольника $ABC$ равен:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 12 + 12 + 10 = 34$.
Ответ: 34

в) На рисунке показано, что углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$ (отмечены одинаковыми дугами). Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный, и стороны, противолежащие равным углам, равны: $AB = BC$. Нам дано, что $AB = 5$, значит $BC = 5$. Отрезок $BK$ является высотой, проведённой к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $K$ — середина стороны $AC$, и $AK = KC$. Нам известно, что $CK = 4$, следовательно $AK = 4$. Длина стороны $AC$ равна $AK + KC = 4 + 4 = 8$. Периметр треугольника $ABC$ равен:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 5 + 5 + 8 = 18$.
Ответ: 18