Номер 71, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

71*. Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $OD = OB$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $CDA$.

По условию задачи нам дано, что отрезки $AB$ и $CD$ равны, то есть $AB = CD$, и они пересекаются в точке $O$ так, что $OD = OB$.

Так как точка $O$ лежит на обоих отрезках, мы можем записать длины отрезков $AB$ и $CD$ как суммы длин их частей:

$AB = AO + OB$

$CD = CO + OD$

Поскольку $AB = CD$ и $OB = OD$ (по условию), мы можем приравнять выражения для длин отрезков и вычесть из обеих частей равенства равные отрезки:

$AO + OB = CO + OD$

$AO = CO$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. В них:

1. $AO = CO$ (доказано выше).

2. $OD = OB$ (по условию).

3. $\angle AOD = \angle COB$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOD = \triangle COB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ следует равенство их соответственных сторон, а именно $AD = CB$.

Теперь докажем равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Рассмотрим эти треугольники:

1. $AB = CD$ (по условию).

2. $BC = DA$ (так как $CB = AD$, что доказано выше).

3. $AC$ — общая сторона.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle CDA$. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $CDA$ доказано.