Номер 69, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

69. $AB$ и $CD$ — диаметры одной окружности с центром $O$. Докажите, что:

a) хорда $AC$ равна хорде $BD$;

б) $\triangle ADC = \triangle DAB$.

a) Рассмотрим треугольники $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $. Поскольку $ AB $ и $ CD $ являются диаметрами окружности с центром в точке $ O $, отрезки $ OA, OB, OC, OD $ являются радиусами этой окружности и, следовательно, равны между собой. В треугольниках $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $ стороны $ OA = OB $ и $ OC = OD $ (как радиусы). Углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $ равны, так как являются вертикальными углами, образованными при пересечении диаметров. Таким образом, $ \triangle AOC = \triangle BOD $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, то есть хорда $ AC $ равна хорде $ BD $.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольники $ \triangle ADC $ и $ \triangle DAB $. Для доказательства их равенства сравним их стороны. Сторона $ AD $ является общей для обоих треугольников. Сторона $ DC $ треугольника $ \triangle ADC $ равна стороне $ AB $ треугольника $ \triangle DAB $, так как обе являются диаметрами одной и той же окружности ($ DC = AB $). Сторона $ AC $ треугольника $ \triangle ADC $ равна стороне $ DB $ треугольника $ \triangle DAB $, что было доказано в пункте а). Таким образом, три стороны треугольника $ \triangle ADC $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle DAB $. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $ \triangle ADC = \triangle DAB $.
Ответ: Что и требовалось доказать.