Номер 23.2, страница 47 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.2. Может ли медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, совпадать с его высотой?

Да, может.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($ \angle C = 90^\circ $). Пусть $AB$ — гипотенуза, а $AC$ и $BC$ — катеты.

Пусть $CM$ — медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. По определению, медиана делит противоположную сторону пополам, значит, точка $M$ — середина гипотенузы $AB$, и $AM = MB$.

Пусть $CH$ — высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. По определению, высота перпендикулярна стороне, к которой она проведена, значит, $CH \perp AB$.

Вопрос состоит в том, могут ли медиана $CM$ и высота $CH$ быть одним и тем же отрезком. Если они совпадают, то отрезок $CM$ является одновременно и медианой, и высотой к стороне $AB$.

В любом треугольнике, если медиана к некоторой стороне совпадает с высотой, проведенной к этой же стороне, то такой треугольник является равнобедренным относительно двух других сторон. В нашем случае, если $CM$ является и медианой, и высотой к стороне $AB$, то треугольник $ABC$ должен быть равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что боковые стороны (катеты) должны быть равны: $AC = BC$.

Таким образом, условие совпадения медианы и высоты, проведенных к гипотенузе, выполняется, если прямоугольный треугольник является равнобедренным.

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого катеты равны, а углы при гипотенузе равны по $45^\circ$. Такие треугольники существуют. В них медиана, проведенная к основанию (гипотенузе), по свойству равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой.

Следовательно, медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, совпадает с его высотой тогда и только тогда, когда этот треугольник является равнобедренным.

Ответ: Да, может, если прямоугольный треугольник является равнобедренным.