Номер 22.10, страница 46 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

В каких пределах может изменяться целое число $x$, выражающее длину отрезка $CD$ (рис. 95)?

б)В каких пределах может изменяться целое число $x$, выражающее длину отрезка $CD$ (рис. 96)?

Рис. 95

Рис. 96

а)

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $AC=8$ и $BC=6$. Точка $D$ лежит на стороне $AB$, а длина отрезка $CD$ равна $x$. Требуется найти, в каких пределах может изменяться целое число $x$.

Длина отрезка (чевианы) $CD$, проведенного из вершины $C$ к стороне $AB$, ограничена. С одной стороны, длина $CD$ не может превышать длину большей из двух других сторон треугольника, исходящих из той же вершины, то есть $AC$ и $BC$. Это следует из того, что для любой фиксированной конфигурации треугольника $ABC$ функция расстояния от точки $C$ до точки $D$ на отрезке $AB$ достигает своего максимума на одном из концов отрезка $AB$ (в точках $A$ или $B$).

Таким образом, $CD \le \max(AC, BC)$.
В нашем случае $AC=8$ и $BC=6$, поэтому $x \le \max(8, 6) = 8$.
Равенство $x=8$ достигается, если точка $D$ совпадает с точкой $A$.

С другой стороны, длина $CD$ не может быть меньше высоты $h_c$, опущенной из вершины $C$ на прямую $AB$. То есть $x \ge h_c$.
Значение высоты $h_c$ зависит от длины стороны $AB$. По неравенству треугольника для $\triangle ABC$, длина стороны $AB$ должна находиться в пределах:
$AC - BC < AB < AC + BC$
$8 - 6 < AB < 8 + 6$
$2 < AB < 14$

Высота $h_c$ треугольника $ABC$ обращается в ноль, когда треугольник вырождается в отрезок. Это происходит, когда длина стороны $AB$ приближается к граничным значениям своего интервала, то есть к $2$ или к $14$. Поскольку можно выбрать треугольник $ABC$ так, чтобы его сторона $AB$ была сколь угодно близка к $2$ или $14$, то высота $h_c$ может быть сколь угодно близка к нулю. Следовательно, и минимальное значение $x$ (равное $h_c$) может быть сколь угодно близко к нулю. Так как длина $x$ должна быть положительной, получаем $x > 0$.

Объединяя оба условия, получаем диапазон для $x$: $0 < x \le 8$.
Поскольку $x$ – целое число, оно может принимать следующие значения: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

Ответ: целое число $x$ может изменяться в пределах от 1 до 8 включительно.

б)

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $AC=6$ и $BC=4$. Точка $D$ лежит на стороне $AB$, а длина отрезка $CD$ равна $x$. Требуется найти, в каких пределах может изменяться целое число $x$.

Аналогично пункту а), применим те же рассуждения. Длина чевианы $CD=x$ ограничена сверху большей из сторон $AC$ и $BC$:
$x \le \max(AC, BC) = \max(6, 4) = 6$.
Равенство $x=6$ достигается, если точка $D$ совпадает с точкой $A$.

Нижняя граница для $x$ определяется высотой $h_c$, опущенной из вершины $C$ на прямую $AB$. Длина стороны $AB$ по неравенству треугольника для $\triangle ABC$ находится в пределах:
$AC - BC < AB < AC + BC$
$6 - 4 < AB < 6 + 4$
$2 < AB < 10$

Когда длина стороны $AB$ приближается к граничным значениям $2$ или $10$, треугольник $ABC$ вырождается, и его высота $h_c$ стремится к нулю. Следовательно, минимальное значение $x$ может быть сколь угодно близким к нулю. Поскольку $x$ – это длина, $x > 0$.

Таким образом, для $x$ справедливо неравенство: $0 < x \le 6$.
Так как $x$ – целое число, оно может принимать значения: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Ответ: целое число $x$ может изменяться в пределах от 1 до 6 включительно.