Номер 23.3, страница 47 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.3. Может ли биссектриса острого угла прямоугольного треугольника совпадать с его медианой, проведенной из той же вершины?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим свойства биссектрисы и медианы в треугольнике.

В любом треугольнике биссектриса и медиана, проведенные из одной и той же вершины, совпадают тогда и только тогда, когда треугольник является равнобедренным относительно этой вершины (то есть, когда две стороны, образующие угол, из которого они проведены, равны).

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Его острые углы — это $\angle A$ и $\angle B$. Рассмотрим один из острых углов, например, угол $A$.

Предположим, что биссектриса, проведенная из вершины $A$, совпадает с медианой, проведенной из той же вершины $A$.

Согласно свойству, упомянутому выше, это означало бы, что треугольник $ABC$ является равнобедренным относительно вершины $A$. То есть, стороны, образующие угол $A$, должны быть равны: $AB = AC$.

Однако в прямоугольном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ является катетом, а сторона $AB$ — гипотенузой. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Это следует из теоремы Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Так как длина катета $BC$ не может быть равна нулю ($BC > 0$), то $BC^2 > 0$, и, следовательно, $AB^2 > AC^2$, что означает $AB > AC$.

Таким образом, мы приходим к противоречию: из нашего предположения следует, что $AB = AC$, а из свойств прямоугольного треугольника следует, что $AB > AC$. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Следовательно, биссектриса острого угла прямоугольного треугольника не может совпадать с его медианой, проведенной из той же вершины.

Ответ: Нет, не может.