Номер 24.2, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

24.2. Точка $M$ находится на равном расстоянии от сторон угла $\angle ABC$, равного $100^\circ$ (рис. 104). Найдите величину угла $\angle AMB$.

Рис. 103

Рис. 104

24.2.

Согласно условию задачи, точка M находится на равном расстоянии от сторон угла ABC. Расстояние от точки до прямой измеряется по длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Из рисунка 104 следует, что точки A и C являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны BA и BC соответственно. Таким образом, $MA \perp BA$ и $MC \perp BC$.

Из того, что $MA \perp BA$, следует, что треугольник AMB является прямоугольным с прямым углом при вершине A, то есть $∠MAB = 90^{\circ}$.

По свойству биссектрисы угла, любая точка внутри угла, равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч BM является биссектрисой угла ABC. Так как по условию $∠ABC = 100^{\circ}$, то луч BM делит его на два равных угла:

$∠ABM = \frac{∠ABC}{2} = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AMB. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Мы знаем два угла в треугольнике AMB: $∠MAB = 90^{\circ}$ и $∠ABM = 50^{\circ}$. Можем найти третий угол, $∠AMB$:

$∠AMB + ∠MAB + ∠ABM = 180^{\circ}$

Подставим известные значения:

$∠AMB + 90^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ}$

$∠AMB + 140^{\circ} = 180^{\circ}$

$∠AMB = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$

Ответ: $40^{\circ}$.