Номер 24.4, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

24.4. В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $M$. Расстояние от точки $M$ до стороны $AB$ равно 4 см. Найдите сумму расстояний от точки $M$ до двух других сторон треугольника.

Рис. 105

24.4.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы углов $A$ и $B$, которые пересекаются в точке $M$. Обозначим расстояния от точки $M$ до сторон $AB$, $AC$ и $BC$ как $d_{AB}$, $d_{AC}$ и $d_{BC}$ соответственно. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

По условию задачи, расстояние от точки $M$ до стороны $AB$ равно 4 см. Таким образом, $d_{AB} = 4$ см.

Рассмотрим точку $M$ как точку, лежащую на биссектрисе угла $A$. Согласно свойству биссектрисы, любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Сторонами угла $A$ являются $AB$ и $AC$. Следовательно, расстояние от точки $M$ до стороны $AC$ равно расстоянию до стороны $AB$:
$d_{AC} = d_{AB}$
Так как $d_{AB} = 4$ см, то $d_{AC} = 4$ см.

Аналогично, рассмотрим точку $M$ как точку, лежащую на биссектрисе угла $B$. Сторонами этого угла являются $BA$ (та же сторона, что и $AB$) и $BC$. По тому же свойству биссектрисы, точка $M$ равноудалена от сторон этого угла:
$d_{BC} = d_{AB}$
Так как $d_{AB} = 4$ см, то $d_{BC} = 4$ см.

Нам необходимо найти сумму расстояний от точки $M$ до двух других сторон треугольника, то есть до сторон $AC$ и $BC$. Эта сумма равна:
$d_{AC} + d_{BC} = 4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
Ответ: 8 см.