Номер 24.5, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

24.5. Какую фигуру образует множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых?

Пусть даны две прямые, $l_1$ и $l_2$, пересекающиеся в точке $O$. Они образуют четыре угла, которые попарно являются вертикальными и смежными. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от этих двух прямых.

Расстояние от точки до прямой измеряется по длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Возьмем произвольную точку $M$, которая равноудалена от прямых $l_1$ и $l_2$. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MA$ на прямую $l_1$ и $MB$ на прямую $l_2$. По условию, длина этих перпендикуляров одинакова, то есть $MA = MB$.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$.

• У них общая гипотенуза $OM$.
• Катеты $MA$ и $MB$ равны по условию ($MA = MB$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в частности, углов: $\angle AOM = \angle BOM$. Это означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $\angle AOB$, образованного прямыми $l_1$ и $l_2$.

Доказанное справедливо для любой точки в любом из четырех углов, образованных пересечением прямых $l_1$ и $l_2$. Биссектрисы двух вертикальных углов являются продолжением друг друга и образуют одну прямую. Поскольку у нас две пары вертикальных углов, то искомое множество точек образует две прямые, проходящие через точку пересечения $O$.

Эти две прямые являются биссектрисами смежных углов. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Пусть один угол равен $2\alpha$, тогда смежный ему равен $180^\circ - 2\alpha$. Биссектрисы делят эти углы пополам. Угол между биссектрисами будет равен сумме половин этих углов: $\frac{2\alpha}{2} + \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} = \alpha + 90^\circ - \alpha = 90^\circ$.

Таким образом, искомая фигура — это две взаимно перпендикулярные прямые.

Ответ: Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, образует пару взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных данными прямыми.