Номер 24.1, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

24.1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $CD = 6$ см, $BD$ — биссектриса угла $B$ (рис. 103). Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $AB$.

Рис. 103

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$). Отрезок $BD$ — это биссектриса угла $B$, точка $D$ лежит на катете $AC$. Длина отрезка $CD$ равна 6 см. Требуется найти расстояние от точки $D$ до прямой $AB$.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведём из точки $D$ перпендикуляр $DE$ к гипотенузе $AB$. Длина отрезка $DE$ и есть искомое расстояние.

Воспользуемся основным свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон этого угла.

Точка $D$ лежит на биссектрисе $BD$ угла $ABC$. Следовательно, она равноудалена от сторон этого угла — прямых $AB$ и $BC$. Это означает, что расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно расстоянию от точки $D$ до прямой $BC$.

Расстояние от $D$ до $AB$ — это длина перпендикуляра $DE$. Расстояние от $D$ до $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $D$ на $BC$. Поскольку $\angle C = 90^\circ$, катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$. Значит, отрезок $CD$ и является этим перпендикуляром. Его длина, по условию, равна 6 см.

Таким образом, мы можем записать равенство: $DE = CD$. Поскольку $CD = 6$ см, то и $DE = 6$ см.

Ответ: 6 см.