Номер 24.3, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

24.3. Дан равнобедренный треугольник

$ACB$ ($AC = BC$). На стороне $AC$ взята точка $K$, равноудаленная от прямых $AB$ и $BC$ (рис. 105). Найдите величину угла $C$, если $\angle ABK = 25^\circ$.

Рис. 105

24.3.

Согласно условию, точка K равноудалена от прямых AB и BC. Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, образует биссектрисы углов, образованных этими прямыми. Так как точка K находится внутри угла ABC, она лежит на биссектрисе этого угла. Таким образом, луч BK является биссектрисой угла ABC.

По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Следовательно, $ \angle ABK = \angle KBC $. Поскольку нам дано, что $ \angle ABK = 25^\circ $, то и $ \angle KBC = 25^\circ $.

Теперь мы можем найти величину всего угла B (или $ \angle ABC $) в треугольнике ABC: $ \angle ABC = \angle ABK + \angle KBC = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ $.

В условии сказано, что треугольник ACB равнобедренный, с боковыми сторонами $ AC = BC $. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае основанием является сторона AB, а углы при основании — это $ \angle CAB $ и $ \angle CBA $ (он же $ \angle ABC $).

Следовательно, $ \angle CAB = \angle ABC = 50^\circ $.

Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $. Для треугольника ACB это записывается как: $ \angle C + \angle CAB + \angle ABC = 180^\circ $.

Подставим известные значения углов A и B, чтобы найти искомый угол C: $ \angle C + 50^\circ + 50^\circ = 180^\circ $
$ \angle C + 100^\circ = 180^\circ $
$ \angle C = 180^\circ - 100^\circ $
$ \angle C = 80^\circ $.

Ответ: $ 80^\circ $.